如图,$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=120^{\circ}$,$D$是$BC$的中点,$E$点在线段$BD$上运动,作等边$\triangle DEF$.

$(1)$如图$1$,$\triangle DEF$在$BC$的上方,且$F$点恰好落在线段$AB$上,求$\frac{BF}{AF}$的值；
$(2)$如图$2$,$\triangle DEF$在$BC$的下方,$H$在$CB$延长线上,$CE=EH$,连接$AF$、$FH$,求证:$AF\bot FH$；
$(3)$如图$3$,将$\triangle DEF$绕$D$点旋转,连接$AF$、$BE$,已知$AB=2\sqrt{3},DE=2$,直接写出$AF+BE$的最小值为______.