（1）连接$AD$，如图$1$，

$\because AB=AC$，点$D$是$BC$的中点，
$\therefore ∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×120°=60°$，$AD\bot BC$，
$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$，
$\because \triangle DEF$是等边三角形，
$\therefore \angle EDF=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ADF=\angle ADB-\angle EDF=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$
$\therefore \angle AFD=180^{\circ}-\angle ADF-\angle BAD=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$，
$\therefore$在$Rt\triangle ADF$中，$AF=\frac{1}{2}AD$，
$\because \angle B=180^{\circ}-\angle BAD-\angle ADB=180^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$，
$\therefore$在$Rt\triangle ABD$中，$AB=2AD$，
$\therefore BF=AB-AF=2AD-\frac{1}{2}AD=\frac{3}{2}AD$，
$\therefore \frac{BF}{AF}=\frac{\frac{3}{2}AD}{\frac{1}{2}AD}=3$.
$(2)$连接$AD$，如图$2$，

$\because AB=AC$，$\angle BAC=120^{\circ}$，点$D$为$BC$中点，
$\therefore \angle ABC=\angle C=30^{\circ}$，$AD\bot BC$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AC$，
连接$AH$，取$AH$的中点$O$，连接$OF$，$OE$，
$\because CE=EH$，
$\therefore OE∥AC，OE=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore \angle OEC=180^{\circ}-\angle C=150^{\circ}$，$OE=AD$，
$\because \triangle FDE$是等边三角形，
$\therefore FE=FD$，$\angle FED=\angle FDE=\angle EFD=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ADF=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}$，$\angle OEF=360^{\circ}-\angle DEC-\angle FED=150^{\circ}$，
$\therefore \angle ADF=\angle OEF$，
$\therefore \triangle ADF$≌$\triangle OEF\left(SAS\right)$，
$\therefore AF=OF$，$\angle 1=\angle 2$，
$\therefore \angle OFA=\angle EFD=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle OFA$为等边三角形，
$\therefore OA=OF$，
$\therefore OA=OH=OF$，
$\therefore ∠OHF=∠OFH=\frac{1}{2}×60°=30°$，
$\therefore \angle AFH=\angle AFO+\angle OFH=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$，
$\therefore AF\bot FH$.
$(3)$在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ABC=30^{\circ}$，$AB=2\sqrt{3}$，
$\therefore BD=AB\cdot \cos \angle ABC=3$，
以$BD$为边在$BD$下方作等边$\triangle BDG$，连接$AD$，$AG$，$FG$，如图$3$，

$\therefore DB=DG=BG=3$，$\angle BDG=60^{\circ}=\angle DBG$，
$\because \triangle DEF$为等边三角形，
$\therefore DE=DF$，$\angle EDF=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BDG=\angle EDF$，
$\therefore \angle 3=\angle 4$，
$\therefore \triangle BDE$≌$\triangle GDF\left(SAS\right)$，
$\therefore BE=GF$，
$\therefore AF+BE=AF+GF\geqslant AG$，
当且仅当点$A$，$G$，$F$三点共线时取得最小值且为$AG$，
$\because \angle ABG=\angle ABC+\angle DBG$，
$\therefore \angle ABG=90^{\circ}$，
$\therefore AG=\sqrt{A{B}^{2}+B{G}^{2}}=\sqrt{21}$，
$\therefore AF+BE$的最小值为$\sqrt{21}$.

（1）连接$AD$，如图$1$，

$\because AB=AC$，点$D$是$BC$的中点，
$\therefore ∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×120°=60°$，$AD\bot BC$，
$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$，
$\because \triangle DEF$是等边三角形，
$\therefore \angle EDF=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ADF=\angle ADB-\angle EDF=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$
$\therefore \angle AFD=180^{\circ}-\angle ADF-\angle BAD=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$，
$\therefore$在$Rt\triangle ADF$中，$AF=\frac{1}{2}AD$，
$\because \angle B=180^{\circ}-\angle BAD-\angle ADB=180^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$，
$\therefore$在$Rt\triangle ABD$中，$AB=2AD$，
$\therefore BF=AB-AF=2AD-\frac{1}{2}AD=\frac{3}{2}AD$，
$\therefore \frac{BF}{AF}=\frac{\frac{3}{2}AD}{\frac{1}{2}AD}=3$.
$(2)$连接$AD$，如图$2$，

$\because AB=AC$，$\angle BAC=120^{\circ}$，点$D$为$BC$中点，
$\therefore \angle ABC=\angle C=30^{\circ}$，$AD\bot BC$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AC$，
连接$AH$，取$AH$的中点$O$，连接$OF$，$OE$，
$\because CE=EH$，
$\therefore OE∥AC，OE=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore \angle OEC=180^{\circ}-\angle C=150^{\circ}$，$OE=AD$，
$\because \triangle FDE$是等边三角形，
$\therefore FE=FD$，$\angle FED=\angle FDE=\angle EFD=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ADF=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}$，$\angle OEF=360^{\circ}-\angle DEC-\angle FED=150^{\circ}$，
$\therefore \angle ADF=\angle OEF$，
$\therefore \triangle ADF$≌$\triangle OEF\left(SAS\right)$，
$\therefore AF=OF$，$\angle 1=\angle 2$，
$\therefore \angle OFA=\angle EFD=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle OFA$为等边三角形，
$\therefore OA=OF$，
$\therefore OA=OH=OF$，
$\therefore ∠OHF=∠OFH=\frac{1}{2}×60°=30°$，
$\therefore \angle AFH=\angle AFO+\angle OFH=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$，
$\therefore AF\bot FH$.
$(3)$在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ABC=30^{\circ}$，$AB=2\sqrt{3}$，
$\therefore BD=AB\cdot \cos \angle ABC=3$，
以$BD$为边在$BD$下方作等边$\triangle BDG$，连接$AD$，$AG$，$FG$，如图$3$，

$\therefore DB=DG=BG=3$，$\angle BDG=60^{\circ}=\angle DBG$，
$\because \triangle DEF$为等边三角形，
$\therefore DE=DF$，$\angle EDF=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BDG=\angle EDF$，
$\therefore \angle 3=\angle 4$，
$\therefore \triangle BDE$≌$\triangle GDF\left(SAS\right)$，
$\therefore BE=GF$，
$\therefore AF+BE=AF+GF\geqslant AG$，
当且仅当点$A$，$G$，$F$三点共线时取得最小值且为$AG$，
$\because \angle ABG=\angle ABC+\angle DBG$，
$\therefore \angle ABG=90^{\circ}$，
$\therefore AG=\sqrt{A{B}^{2}+B{G}^{2}}=\sqrt{21}$，
$\therefore AF+BE$的最小值为$\sqrt{21}$.