$\left(1\right)\because \angle DAC=\angle EAB$，
$\therefore \angle DAC+\angle BAC=\angle EAB+\angle BAC$，
$\therefore \angle BAD=\angle EAC$，
在$\triangle ABD$和$\triangle AEC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle AEC\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle ABD=\angle AEC$，
$\therefore \angle BFC=\angle BEF+\angle EBF=\angle AEB-\angle AEC+\angle ABE+\angle ABD=\angle AEB+\angle ABE$，
$\because \angle EAB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AEB+\angle ABE=120^{\circ}$，
$\therefore \angle BFC=120^{\circ}$，
故答案为：$120^{\circ}$；
$(2)$将$\triangle ABD$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得$\triangle AEC$，连接$BE$，如图$2$，

由（1）知$\triangle ABD$≌$\triangle AEC$，
$\therefore BD=EC$，
$\because AB=AE=3$，$\angle EAB=\angle DAC=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABE$是等边三角形，
$\therefore EB=AB=3$，$\angle ABE=60^{\circ}$，
$\because \angle ABC=30^{\circ}$，
$\therefore \angle EBC=90^{\circ}$，
在$Rt\triangle EBC$中，$EC=\sqrt{E{B}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$，
$\therefore BD=5$；
$(3)\angle DAC=2\angle ABC$；
证明：过点$B$作$EB\bot BC$于$B$，使$EB=2AH$，连接$EA$，$EC$，

则$EC^{2}=EB^{2}+BC^{2}=4AH^{2}+BC^{2}$，
$\because BD^{2}=4AH^{2}+BC^{2}$，
$\therefore BD=EC$，
过点$A$作$AG\bot EB$于$G$，则四边形$AGBH$为矩形，
$\therefore GB=AH$，
$\because EB=2AH$，
$\therefore EB=2GB$，
$\therefore EG=GB$，
$\therefore AG$是$BE$的垂直平分线，
$\therefore AB=AE$，
在$\triangle ABD$和$\triangle AEC$中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AE\\ AD=AC\\ BD=EC\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle AEC\left(SSS\right)$，
$\therefore \angle BAD=\angle EAC$，
$\therefore \angle BAD-\angle EAD=\angle EAC-\angle EAD$，
即$\angle EAB=\angle DAC$，
$\because \angle EBC=90^{\circ}$，$\angle ABC$为锐角，
$\therefore \angle ABC=90^{\circ}-\angle EBA$，
$\because AB=AE$，
$\therefore \angle EBA=\angle BEA$，
$\therefore \angle EAB=180^{\circ}-2\angle EBA$，
$\therefore \angle EAB=2\angle ABC$，
$\therefore \angle DAC=2\angle ABC$.

$\left(1\right)\because \angle DAC=\angle EAB$，
$\therefore \angle DAC+\angle BAC=\angle EAB+\angle BAC$，
$\therefore \angle BAD=\angle EAC$，
在$\triangle ABD$和$\triangle AEC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle AEC\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle ABD=\angle AEC$，
$\therefore \angle BFC=\angle BEF+\angle EBF=\angle AEB-\angle AEC+\angle ABE+\angle ABD=\angle AEB+\angle ABE$，
$\because \angle EAB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AEB+\angle ABE=120^{\circ}$，
$\therefore \angle BFC=120^{\circ}$，
故答案为：$120^{\circ}$；
$(2)$将$\triangle ABD$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得$\triangle AEC$，连接$BE$，如图$2$，

由（1）知$\triangle ABD$≌$\triangle AEC$，
$\therefore BD=EC$，
$\because AB=AE=3$，$\angle EAB=\angle DAC=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABE$是等边三角形，
$\therefore EB=AB=3$，$\angle ABE=60^{\circ}$，
$\because \angle ABC=30^{\circ}$，
$\therefore \angle EBC=90^{\circ}$，
在$Rt\triangle EBC$中，$EC=\sqrt{E{B}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$，
$\therefore BD=5$；
$(3)\angle DAC=2\angle ABC$；
证明：过点$B$作$EB\bot BC$于$B$，使$EB=2AH$，连接$EA$，$EC$，

则$EC^{2}=EB^{2}+BC^{2}=4AH^{2}+BC^{2}$，
$\because BD^{2}=4AH^{2}+BC^{2}$，
$\therefore BD=EC$，
过点$A$作$AG\bot EB$于$G$，则四边形$AGBH$为矩形，
$\therefore GB=AH$，
$\because EB=2AH$，
$\therefore EB=2GB$，
$\therefore EG=GB$，
$\therefore AG$是$BE$的垂直平分线，
$\therefore AB=AE$，
在$\triangle ABD$和$\triangle AEC$中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AE\\ AD=AC\\ BD=EC\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle AEC\left(SSS\right)$，
$\therefore \angle BAD=\angle EAC$，
$\therefore \angle BAD-\angle EAD=\angle EAC-\angle EAD$，
即$\angle EAB=\angle DAC$，
$\because \angle EBC=90^{\circ}$，$\angle ABC$为锐角，
$\therefore \angle ABC=90^{\circ}-\angle EBA$，
$\because AB=AE$，
$\therefore \angle EBA=\angle BEA$，
$\therefore \angle EAB=180^{\circ}-2\angle EBA$，
$\therefore \angle EAB=2\angle ABC$，
$\therefore \angle DAC=2\angle ABC$.