综合与实践.
数学模型可以用来解决一类问题,是数学应用基本途径.通过探究图形的变化规律,再结合其他数学知识的内在联系,最终可以获得宝贵的数学经验,并将其运用到更广阔的数学天地.
$(1)$发现问题:如图$1$,在$\triangle ABE$与$\triangle ACF$中,$AB=AE$,$AC=AF$,$\angle BAE=\angle CAF$,$B$,$F$,$C$三点在一条直线上,连接$EF$交$AB$于点$D$.则线段$BC$与$ED$、$DF$的数量关系是______,并说明理由.
$(2)$类比探究:如图$2$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,以$AC$为边,作$\triangle ACD$,满足$AD=AC$,$E$为$BC$上一点,连接$AE$,$2\angle BAE=\angle CAD$,连接$DE$,求证:$DE=CE+2BE$.