D

如图，连接$OD$，$BD$.把$OD$绕点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$至$OD\’$，过点$D$作$DG\bot y$轴于点$G$，过点${D\’}$作$DH\bot y$轴于点$H$，
在正六边形$ABCDEF$中，$AF=AB=BC=CD=1$，$\angle FAB=\angle BCD=120^{\circ}$，
$\therefore \angle FAO=60^{\circ}$，$\angle OFA=30^{\circ}$，
$\therefore OA=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}$，$BD=\sqrt{3}$，
$BD\bot OB$，
$\therefore OB=OA+AB=\frac{3}{2}$，
$\therefore D(\frac{3}{2}$，$\sqrt{3})$，
$\because$将正六边形$ABCDEF$绕坐标原点$O$顺时针旋转，每次旋转$45^{\circ}$，
$\therefore 8$次一个循环，
$\because 2026\div 8=253\ldots \ldots 2$，$45^{\circ}\times 2=90^{\circ}$，
$\therefore$经过第$2026$次旋转后，顶点$D$的坐标在${D\’}$的位置，
$\because \angle GDO+\angle DOG=90^{\circ}$，$\angle {D\’}OH+\angle DOG=90^{\circ}$，
$\therefore \angle GDO=\angle {D\’}OH$，$\angle DGO=\angle OHD\’$，
$\because OD=OD\’$，
$\therefore \triangle DGO$≌$\triangle OHD\’\left(AAS\right)$，
$\therefore OH=DG=\frac{3}{2}$，$OG=HD\’=\sqrt{3}$，
$\therefore {D\’}(\sqrt{3}$，$-\frac{3}{2})$，
$\therefore$经过第$2028$次旋转后，顶点$D$的坐标（$\sqrt{3}$，$-\frac{3}{2})$，
故选：$D$.