（1）根据题意得：$L=0.2\left(n-1\right)+1=0.2n+0.8$，

$\therefore$车身总长$L$与购物车辆数$n$的表达式为$L=0.2n+0.8$；

故答案为：$L=0.2n+0.8$；

$(2)$当$L=2.6$时，$0.2n+0.8=2.6$，

解得$n=9$，$2\times 9=18(辆)$，

答：直立电梯一次性最多可以运输$18$辆购物车；

$(3)$设用扶手电梯运输$m$次，直立电梯运输$n$次，

根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}m+n=5\\ 24m+18n\color{red}{\ge }100\end{array}\right.$，

解得$m\color{red}{≥}\frac{5}{3}$，

$\therefore m$为正整数，且$m\leqslant 5$，

$\therefore m=2$，$3$，$4$，$5$，

$\therefore$共有$4$种运输方案.

扶手电梯运2次，直立电梯运3次。

扶手电梯运3次，直立电梯运2次。

扶手电梯运4次，直立电梯运1次。

扶手电梯运5次。

（1）根据题意得：$L=0.2\left(n-1\right)+1=0.2n+0.8$，

$\therefore$车身总长$L$与购物车辆数$n$的表达式为$L=0.2n+0.8$；

故答案为：$L=0.2n+0.8$；

$(2)$当$L=2.6$时，$0.2n+0.8=2.6$，

解得$n=9$，$2\times 9=18(辆)$，

答：直立电梯一次性最多可以运输$18$辆购物车；

$(3)$设用扶手电梯运输$m$次，直立电梯运输$n$次，

根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}m+n=5\\ 24m+18n\color{red}{\ge }100\end{array}\right.$，

解得$m\color{red}{≥}\frac{5}{3}$，

$\therefore m$为正整数，且$m\leqslant 5$，

$\therefore m=2$，$3$，$4$，$5$，

$\therefore$共有$4$种运输方案.

扶手电梯运2次，直立电梯运3次。

扶手电梯运3次，直立电梯运2次。

扶手电梯运4次，直立电梯运1次。

扶手电梯运5次。