D

$\because \angle ACB=\angle ECD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BCD=\angle ACE$，
在$\triangle BDC$和$\triangle AEC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BDC$≌$\triangle AEC\left(SAS\right)$，故①正确；
$\therefore \angle DBC=\angle EAC$，$BD=AE$，故③正确；
$\because \angle EBD=\angle DBC+\angle EBC=38^{\circ}$，
$\therefore \angle EAC+\angle EBC=38^{\circ}$，
$\therefore \angle ABE+\angle EAB=90^{\circ}-38^{\circ}=52^{\circ}$，
$\therefore \angle AEB=180^{\circ}-\left(\angle ABE+\angle EAB\right)=180^{\circ}-52^{\circ}=128^{\circ}$，故②正确；
$\because \angle 3=\angle 4$，
$\therefore \angle BFE=\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore AE\bot BD$，故④正确；
故选：$D$.