如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC$,$A\left(6,5\right)$,点$D$为$AB$上一点,过点$D$作$DE\bot BC$于点$E$,点$P$为$x$轴上一动点,点$P$关于$DE$的对称点为点$Q$,连接$DP$、$DQ$、$AQ$.
$(1)$点$B$的坐标为______；
$(2)$若点$P$的坐标为$\left(-2,0\right)$,延长$PD$交$AQ$于点$F$.当$PF\bot AQ$时,求点$D$的坐标；
$(3)$若点$M$为$y$轴上一动点,是否存在以$A$、$P$、$M$为顶点且以$AP$为斜边的三角形为等腰直角三角形?若存在,请求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.