$\left(1\right)\because \angle ACB=90^{\circ}$，$AC=BC$，$A\left(6,5\right)$，
$\therefore AC=BC=5$，$OC=6$，
$\therefore OB=OC-BC=6-5=1$，
$\therefore$点$B$的坐标为$\left(1,0\right)$，
故答案为：$\left(1,0\right)$.
$(2)$设$PF$于$AC$交于点$H$，如图$1$所示：

$\because PF\bot AQ$，$\angle ACB=90^{\circ}$，
$\because \angle CAQ+\angle AHF=90^{\circ}$，$\angle 1+\angle 3=90^{\circ}$，
又$\because \angle AHF=\angle 3$，
$\therefore \angle CAQ=\angle 1$，
$\because$点$P$，$Q$关于$DE$对称，
$\therefore PD=DQ$，
$\therefore \angle 1=\angle 2$，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$AC=BC$，
$\therefore \angle BAC=\angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \angle DAQ=\angle BAC+\angle CAQ=45^{\circ}+\angle 1$，
$\because \angle ADQ=\angle ABC+\angle 2=45^{\circ}+\angle 1$，
$\therefore \angle DAQ=\angle ADQ$，
$\therefore AQ=DQ$，
$\therefore AQ=PD$，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$DE\bot BC$，
$\therefore \angle QCA=\angle DEP=90^{\circ}$，
在$\triangle ACQ$和$\triangle PED$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAQ=∠1}\\{∠QCA=∠DEP=90°}\\{AQ=PD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACQ$≌$\triangle PED\left(AAS\right)$，
$\therefore AC=PE=5$，
$\because$点$P\left(-2,0\right)$，点$B\left(1,0\right)$，
$\therefore OP=2$，$OB=1$，
$\therefore OE=PE=OP=5-2=3$，
$\therefore BE=OE-OB=3-1=2$，
$\because DE\bot BC$，$\angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle BDE$为等腰直角三角形，
$\therefore DE=BE=2$，
$\therefore$点$D$的坐标为$\left(3,2\right)$；
$(3)$存在.
$\because$点$M$在$y$轴上，
$\therefore$有以下两种情况讨论如：
①当点$M$在$y$轴的正半轴上时，
过点$A$作$AN\bot OM$轴于点$N$，如图$2$所示：

$\because \triangle AMP$是以$AP$为斜边的等腰直角三角形，
$\therefore PM=AM$，$\angle AMP=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AMN+\angle PMO=90^{\circ}$，
$\because AN\bot OM$，
$\therefore \angle MAN+\angle AMN=90^{\circ}$，
$\therefore \angle PMO=\angle MAN$，
$\because AN\bot OM$，$PO\bot OM$，
$\therefore \angle POM=\angle MNA=90^{\circ}$，
在$\triangle POM$和$\triangle MNA$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMO=∠MAN}\\{∠POM=∠MNA=90°}\\{PM=AM}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle POM$≌$\triangle MNA\left(AAS\right)$，
$\therefore OP=MN$，$OM=AN$，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$\angle CON=90^{\circ}$，$AN\bot OM$，
$\therefore$四边形$ACON$为矩形，
又$\because$点$A\left(6,5\right)$，
$\therefore AN=6$，$ON=5$，
$\therefore OM=AN=6$，
$\therefore OP=MN=OM-ON=6-5=1$，
$\therefore$点$P$的坐标为$\left(-1,0\right)$.
②当点$M$在$y$轴的正半轴上时，
过点$A$作$AN\bot OM$轴于点$N$，如图$3$所示：

同理可证：$OM=AN=6$，$ON=5$，
$\therefore OP=MN=OM+ON=6+5=11$，
$\therefore$点$P$的坐标为$\left(-11,0\right)$.
综上所述：点$P$的坐标为$\left(-1,0\right)$或$\left(-11,0\right)$.

$\left(1\right)\because \angle ACB=90^{\circ}$，$AC=BC$，$A\left(6,5\right)$，
$\therefore AC=BC=5$，$OC=6$，
$\therefore OB=OC-BC=6-5=1$，
$\therefore$点$B$的坐标为$\left(1,0\right)$，
故答案为：$\left(1,0\right)$.
$(2)$设$PF$于$AC$交于点$H$，如图$1$所示：

$\because PF\bot AQ$，$\angle ACB=90^{\circ}$，
$\because \angle CAQ+\angle AHF=90^{\circ}$，$\angle 1+\angle 3=90^{\circ}$，
又$\because \angle AHF=\angle 3$，
$\therefore \angle CAQ=\angle 1$，
$\because$点$P$，$Q$关于$DE$对称，
$\therefore PD=DQ$，
$\therefore \angle 1=\angle 2$，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$AC=BC$，
$\therefore \angle BAC=\angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \angle DAQ=\angle BAC+\angle CAQ=45^{\circ}+\angle 1$，
$\because \angle ADQ=\angle ABC+\angle 2=45^{\circ}+\angle 1$，
$\therefore \angle DAQ=\angle ADQ$，
$\therefore AQ=DQ$，
$\therefore AQ=PD$，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$DE\bot BC$，
$\therefore \angle QCA=\angle DEP=90^{\circ}$，
在$\triangle ACQ$和$\triangle PED$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAQ=∠1}\\{∠QCA=∠DEP=90°}\\{AQ=PD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACQ$≌$\triangle PED\left(AAS\right)$，
$\therefore AC=PE=5$，
$\because$点$P\left(-2,0\right)$，点$B\left(1,0\right)$，
$\therefore OP=2$，$OB=1$，
$\therefore OE=PE=OP=5-2=3$，
$\therefore BE=OE-OB=3-1=2$，
$\because DE\bot BC$，$\angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle BDE$为等腰直角三角形，
$\therefore DE=BE=2$，
$\therefore$点$D$的坐标为$\left(3,2\right)$；
$(3)$存在.
$\because$点$M$在$y$轴上，
$\therefore$有以下两种情况讨论如：
①当点$M$在$y$轴的正半轴上时，
过点$A$作$AN\bot OM$轴于点$N$，如图$2$所示：

$\because \triangle AMP$是以$AP$为斜边的等腰直角三角形，
$\therefore PM=AM$，$\angle AMP=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AMN+\angle PMO=90^{\circ}$，
$\because AN\bot OM$，
$\therefore \angle MAN+\angle AMN=90^{\circ}$，
$\therefore \angle PMO=\angle MAN$，
$\because AN\bot OM$，$PO\bot OM$，
$\therefore \angle POM=\angle MNA=90^{\circ}$，
在$\triangle POM$和$\triangle MNA$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMO=∠MAN}\\{∠POM=∠MNA=90°}\\{PM=AM}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle POM$≌$\triangle MNA\left(AAS\right)$，
$\therefore OP=MN$，$OM=AN$，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$\angle CON=90^{\circ}$，$AN\bot OM$，
$\therefore$四边形$ACON$为矩形，
又$\because$点$A\left(6,5\right)$，
$\therefore AN=6$，$ON=5$，
$\therefore OM=AN=6$，
$\therefore OP=MN=OM-ON=6-5=1$，
$\therefore$点$P$的坐标为$\left(-1,0\right)$.
②当点$M$在$y$轴的正半轴上时，
过点$A$作$AN\bot OM$轴于点$N$，如图$3$所示：

同理可证：$OM=AN=6$，$ON=5$，
$\therefore OP=MN=OM+ON=6+5=11$，
$\therefore$点$P$的坐标为$\left(-11,0\right)$.
综上所述：点$P$的坐标为$\left(-1,0\right)$或$\left(-11,0\right)$.