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八年级数学填空题一般
题目
在一次数学探究活动中,陈老师给出了一道题.如图,已知△ABC\triangle ABC中,∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ},AC=BCAC=BC,PP是△ABC\triangle ABC内的一点,且PA=3PA=3,PB=1PB=1,PC=2PC=2,则∠BPC\angle BPC的度数为______.
知识点：等腰直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理、旋转的性质章节：第4章 三角形 / 4.1 认识三角形

答案与解析

答案

将线段CPCP绕点CC逆时针旋转90∘90^{\circ}得到线段CECE，连接EBEB，则∠PAE=90∘\angle PAE=90^{\circ}，EC=PC=2EC=PC=2，
∴PE2=EC2+PC2=22+22=8\therefore PE^{2}=EC^{2}+PC^{2}=2^{2}+2^{2}=8，∠CPE=∠CEP=45∘\angle CPE=\angle CEP=45^{\circ}，
∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，
∴∠BCE=∠ACP=90∘−∠PCB\therefore \angle BCE=\angle ACP=90^{\circ}-\angle PCB，
在△BCE\triangle BCE和△ACP\triangle ACP中，
{EC=PC∠BCE=∠ACPBC=AC\left\{\begin{array}{l}{EC=PC}\\{∠BCE=∠ACP}\\{BC=AC}\end{array}\right.，
∴△BCE\therefore \triangle BCE≌△ACP(SAS)\triangle ACP\left(SAS\right)，
∴EB=PA=3\therefore EB=PA=3，
∵PB=1\because PB=1，
∴PB2+PE2=12+8=9\therefore PB^{2}+PE^{2}=1^{2}+8=9，EB2=32=9EB^{2}=3^{2}=9，
∴PB2+PE2=EB2\therefore PB^{2}+PE^{2}=EB^{2}，
∴△BPE\therefore \triangle BPE是直角三角形，且∠BPE=90∘\angle BPE=90^{\circ}，
∴∠BPC=∠BPE+∠CPE=90∘+45∘=135∘\therefore \angle BPC=\angle BPE+\angle CPE=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}，
故答案为：135∘135^{\circ}.

解析

将线段CPCP绕点CC逆时针旋转90∘90^{\circ}得到线段CECE，连接EBEB，则∠PAE=90∘\angle PAE=90^{\circ}，EC=PC=2EC=PC=2，
∴PE2=EC2+PC2=22+22=8\therefore PE^{2}=EC^{2}+PC^{2}=2^{2}+2^{2}=8，∠CPE=∠CEP=45∘\angle CPE=\angle CEP=45^{\circ}，
∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，
∴∠BCE=∠ACP=90∘−∠PCB\therefore \angle BCE=\angle ACP=90^{\circ}-\angle PCB，
在△BCE\triangle BCE和△ACP\triangle ACP中，
{EC=PC∠BCE=∠ACPBC=AC\left\{\begin{array}{l}{EC=PC}\\{∠BCE=∠ACP}\\{BC=AC}\end{array}\right.，
∴△BCE\therefore \triangle BCE≌△ACP(SAS)\triangle ACP\left(SAS\right)，
∴EB=PA=3\therefore EB=PA=3，
∵PB=1\because PB=1，
∴PB2+PE2=12+8=9\therefore PB^{2}+PE^{2}=1^{2}+8=9，EB2=32=9EB^{2}=3^{2}=9，
∴PB2+PE2=EB2\therefore PB^{2}+PE^{2}=EB^{2}，
∴△BPE\therefore \triangle BPE是直角三角形，且∠BPE=90∘\angle BPE=90^{\circ}，
∴∠BPC=∠BPE+∠CPE=90∘+45∘=135∘\therefore \angle BPC=\angle BPE+\angle CPE=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}，
故答案为：135∘135^{\circ}.

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