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八年级数学解答题一般
题目
如图,在△ABC\triangle ABC中,∠C=90∘\angle C=90^{\circ},BC=ACBC=AC,DD为直线BCBC上一动点,连接ADAD.在直线ACAC的右侧作AE⊥ADAE\bot AD,且AE=ADAE=AD.

观察发现:
(1)(1)如图①,当点DD在线段BCBC上时,过点EE作ACAC的垂线,垂足为NN,判断线段ENEN与BCBC之间的关系,并说明理由；
探究迁移:
(2)(2)将如图①中的BB,EE连接,交直线ACAC于点MM,我们很容易发现MN=MCMN=MC.如图②,当点DD在线段BCBC的延长线上时,连接BEBE交直线CACA于点MM,线段ENEN和线段BCBC之间的关系有没有变化?此时MN=MCMN=MC吗?说说理由.
拓展应用:
(3)(3)如图③,当点DD在线段CBCB的延长线上时,当AC=8AC=8,CM=3CM=3时,求△ABD\triangle ABD和△ABE\triangle ABE的面积.
知识点：等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质章节：第4章 三角形 / 4.1 认识三角形

答案与解析

答案

（1）结论：ENEN∥BCBC，EN=BCEN=BC.
证明：根据题意可知，EN⊥ACEN\bot AC，BC⊥ACBC\bot AC，
∴EN\therefore EN∥BC.BC.
∵∠DAC+∠ADC=∠DAC+∠EAN=90∘\because \angle DAC+\angle ADC=\angle DAC+\angle EAN=90^{\circ}，
∴∠ADC=∠EAN\therefore \angle ADC=\angle EAN.
∵△EAN\because \triangle EAN和△ADC\triangle ADC，
{∠ADC=∠EAN∠ACD=∠ENAAD=AE\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠EAN}\\{∠ACD=∠ENA}\\{AD=AE}\end{array}\right.，
∴△EAN\therefore \triangle EAN≌△ADC(AAS)\triangle ADC\left(AAS\right)，
∴EN=AC\therefore EN=AC，
∵AC=BC\because AC=BC.
∴EN=BC\therefore EN=BC
故线段ENEN与BCBC之间的关系为：ENEN∥BCBC且EN=BCEN=BC.
(2)(2)结论：线段ENEN与BCBC之间的关系不变；MN=MCMN=MC.
证明：从图②可知，∠DAC+∠ADC=90∘\angle DAC+\angle ADC=90^{\circ}，∠DAC+∠EAN=180∘−∠DAE=90∘\angle DAC+\angle EAN=180^{\circ}-\angle DAE=90^{\circ}，
∴∠ADC=∠EAN\therefore \angle ADC=\angle EAN.
同理（1）可得,EN,EN∥BC,BC,由△EAN\triangle EAN≌△ADC(AAS)\triangle ADC\left(AAS\right)得出EN=BCEN=BC.
在△MEN\triangle MEN和△MBC\triangle MBC中，
{∠EMN=∠BMC∠ENM=∠BCMNE=BC\left\{\begin{array}{l}{∠EMN=∠BMC}\\{∠ENM=∠BCM}\\{NE=BC}\end{array}\right.，
∴△MEN\therefore \triangle MEN≌△MBC(AAS)\triangle MBC\left(AAS\right)，
∴MN=MC\therefore MN=MC.
故本题结论为：ENEN与BCBC之间的关系不变；MN=MCMN=MC.
(3)(3)如图③，当点DD在线段CBCB的延长线上时，
同理可得,△EAN,\triangle EAN≌△ADC,△MEN\triangle ADC,\triangle MEN≌△MBC.\triangle MBC.
∴MN=CM=2\therefore MN=CM=2，NE=BC=AC=8NE=BC=AC=8，AN=DCAN=DC，
∵AC+CN=AN\because AC+CN=AN，BD+BC=DCBD+BC=DC，
∴BD=CN=MN+CM=4\therefore BD=CN=MN+CM=4，AN=DC=BC+BD=12AN=DC=BC+BD=12，
∴S△ABD=12BD⋅AC=12×4×8=16\therefore S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot AC=\frac{1}{2}\times 4\times 8=16.
又∵△MEN\because \triangle MEN≌△MBC\triangle MBC，
∴S△MEN=S△MBC\therefore S_{\triangle MEN}=S_{\triangle MBC}，
则根据图形面积割补法可得：
S△ABE=S△ABC+S△MBC+S△AEN−S△MEN=S△ABC+S△AENS_{\triangle ABE}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle MBC}+S_{\triangle AEN}-S_{\triangle MEN}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle AEN}.
∴S△ABE=12×8×8+12×8×12=80\therefore S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}\times 8\times 8+\frac{1}{2}\times 8\times 12=80.
答：△ABD\triangle ABD和△ABE\triangle ABE的面积分别为1616和8080.

解析

（1）结论：ENEN∥BCBC，EN=BCEN=BC.
证明：根据题意可知，EN⊥ACEN\bot AC，BC⊥ACBC\bot AC，
∴EN\therefore EN∥BC.BC.
∵∠DAC+∠ADC=∠DAC+∠EAN=90∘\because \angle DAC+\angle ADC=\angle DAC+\angle EAN=90^{\circ}，
∴∠ADC=∠EAN\therefore \angle ADC=\angle EAN.
∵△EAN\because \triangle EAN和△ADC\triangle ADC，
{∠ADC=∠EAN∠ACD=∠ENAAD=AE\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠EAN}\\{∠ACD=∠ENA}\\{AD=AE}\end{array}\right.，
∴△EAN\therefore \triangle EAN≌△ADC(AAS)\triangle ADC\left(AAS\right)，
∴EN=AC\therefore EN=AC，
∵AC=BC\because AC=BC.
∴EN=BC\therefore EN=BC
故线段ENEN与BCBC之间的关系为：ENEN∥BCBC且EN=BCEN=BC.
(2)(2)结论：线段ENEN与BCBC之间的关系不变；MN=MCMN=MC.
证明：从图②可知，∠DAC+∠ADC=90∘\angle DAC+\angle ADC=90^{\circ}，∠DAC+∠EAN=180∘−∠DAE=90∘\angle DAC+\angle EAN=180^{\circ}-\angle DAE=90^{\circ}，
∴∠ADC=∠EAN\therefore \angle ADC=\angle EAN.
同理（1）可得,EN,EN∥BC,BC,由△EAN\triangle EAN≌△ADC(AAS)\triangle ADC\left(AAS\right)得出EN=BCEN=BC.
在△MEN\triangle MEN和△MBC\triangle MBC中，
{∠EMN=∠BMC∠ENM=∠BCMNE=BC\left\{\begin{array}{l}{∠EMN=∠BMC}\\{∠ENM=∠BCM}\\{NE=BC}\end{array}\right.，
∴△MEN\therefore \triangle MEN≌△MBC(AAS)\triangle MBC\left(AAS\right)，
∴MN=MC\therefore MN=MC.
故本题结论为：ENEN与BCBC之间的关系不变；MN=MCMN=MC.
(3)(3)如图③，当点DD在线段CBCB的延长线上时，
同理可得,△EAN,\triangle EAN≌△ADC,△MEN\triangle ADC,\triangle MEN≌△MBC.\triangle MBC.
∴MN=CM=2\therefore MN=CM=2，NE=BC=AC=8NE=BC=AC=8，AN=DCAN=DC，
∵AC+CN=AN\because AC+CN=AN，BD+BC=DCBD+BC=DC，
∴BD=CN=MN+CM=4\therefore BD=CN=MN+CM=4，AN=DC=BC+BD=12AN=DC=BC+BD=12，
∴S△ABD=12BD⋅AC=12×4×8=16\therefore S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot AC=\frac{1}{2}\times 4\times 8=16.
又∵△MEN\because \triangle MEN≌△MBC\triangle MBC，
∴S△MEN=S△MBC\therefore S_{\triangle MEN}=S_{\triangle MBC}，
则根据图形面积割补法可得：
S△ABE=S△ABC+S△MBC+S△AEN−S△MEN=S△ABC+S△AENS_{\triangle ABE}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle MBC}+S_{\triangle AEN}-S_{\triangle MEN}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle AEN}.
∴S△ABE=12×8×8+12×8×12=80\therefore S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}\times 8\times 8+\frac{1}{2}\times 8\times 12=80.
答：△ABD\triangle ABD和△ABE\triangle ABE的面积分别为1616和8080.

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