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八年级数学选择题一般
题目
如图,AA,BB,CC,DD四个点顺次在直线ll上,AC=aAC=a,BD=bBD=b.以ACAC为底向下作等腰直角三角形ACEACE,以BDBD为底向上作等腰三角形BDFBDF,且FB=FD=56BDFB=FD=\frac{5}{6}BD.连结AFAF,DEDE,当BCBC的长度变化时,△ABF\triangle ABF与△CDE\triangle CDE的面积之差保持不变,则aa与bb需满足（ ）
A.
a=43ba=\frac{4}{3}b
B.
a=65ba=\frac{6}{5}b
C.
a=53ba=\frac{5}{3}b
D.
a=2ba=\sqrt{2}b
知识点：等腰直角三角形、三角形的面积章节：第4章 三角形 / 4.1 认识三角形

答案与解析

答案

A

解析

过点FF作FH⊥ADFH\bot AD于点HH，过点EE作EG⊥ADEG\bot AD于GG，

∵△ACE\because \triangle ACE是等腰直角三角形，AC=aAC=a，
∴EG=12AC=a2\therefore EG=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}，
∵BD=b\because BD=b，FB=FD=56bFB=FD=\frac{5}{6}b，FH⊥ADFH\bot AD，
∴BH=12BD=b2\therefore BH=\frac{1}{2}BD=\frac{b}{2}，
在Rt△BHFRt\triangle BHF中，
FH=BF2−BH2=(56b)2−(b2)2=23bFH=\sqrt{B{F}^{2}-B{H}^{2}}=\sqrt{(\frac{5}{6}b)^{2}-(\frac{b}{2})^{2}}=\frac{2}{3}b，
设BC=xBC=x，
则S△ABF=12AB⋅FH=12(a−x)×23bS_{\triangle ABF}=\frac{1}{2}AB\cdot FH=\frac{1}{2}\left(a-x\right)\times \frac{2}{3}b，
S△CDE=12CD⋅EG=12(b−x)×a2S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}CD\cdot EG=\frac{1}{2}\left(b-x\right)\times \frac{a}{2}，
∴S=S△CDE−S△ABF=12(b−x)×a2−12(a−x)×23b=(b3−a4)x−ab12\therefore S=S_{\triangle CDE}-S_{\triangle ABF}=\frac{1}{2}\left(b-x\right)\times \frac{a}{2}-\frac{1}{2}\left(a-x\right)\times \frac{2}{3}b=(\frac{b}{3}-\frac{a}{4})x-\frac{ab}{12}，
∵\because当BCBC的长度变化时，SS始终保持不变，
∴b3−a4=0\therefore \frac{b}{3}-\frac{a}{4}=0，
∴a=43b\therefore a=\frac{4}{3}b.
故选：AA.

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