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八年级数学解答题一般
题目
【教材再现】
(1)(1)期中复习期间,数学老师沈老师将教材4242页例55复印下来,请你再一次完成证明.
如图11,AC⊥BCAC\bot BC,BD⊥ADBD\bot AD,垂足分别为CC,DD,AC=BDAC=BD.求证:BC=ADBC=AD.

【变式拓展】
(2)(2)沈老师改变（1）中的条件和图形,提出下面的问题,请你解答.
如图22,△ABC\triangle ABC是等腰直角三角形,AC=BCAC=BC,∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ},DD为BCBC中点,BE⊥ADBE\bot AD交ADAD延长线于点EE,CF⊥ADCF\bot AD于FF.求证:AF=2BEAF=2BE；
【学以致用】
(3)(3)在（2）的条件下,如图33,作△ACF\triangle ACF关于直线ACAC成轴对称的△ACM\triangle ACM,连接BMBM,若BE=2BE=2,求△ABM\triangle ABM的面积.
知识点：等腰直角三角形、勾股定理、勾股定理的性质、全等三角形的判定与性质章节：第4章 三角形 / 4.1 认识三角形

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵AC⊥BC\because AC\bot BC，BD⊥ADBD\bot AD，
∴∠C=∠D=90∘\therefore \angle C=\angle D=90^{\circ}，
在Rt△ABCRt\triangle ABC与Rt△BADRt\triangle BAD中，
{AB=BAAC=BD\left\{\begin{array}{l}{AB=BA}\\{AC=BD}\end{array}\right.，
∴Rt△ABC\therefore Rt\triangle ABC≌Rt△BAD(HL)Rt\triangle BAD\left(HL\right)，
∴BC=AD\therefore BC=AD；
(2)(2)证明：如图，22，连接CECE，作CG⊥CECG\bot CE交AFAF于GG，

∵BE⊥AD\because BE\bot AD交ADAD延长线于点EE，
∴∠BED=∠CFD=90∘\therefore \angle BED=\angle CFD=90^{\circ}，
∵∠BDE=∠CDF\because \angle BDE=\angle CDF，DD为BCBC中点，
∴BD=CD\therefore BD=CD，
∴△BDE\therefore \triangle BDE≌△CDF(AAS)\triangle CDF\left(AAS\right)，
∴BE=CF\therefore BE=CF，
∵∠BED=∠ACD=90∘\because \angle BED=\angle ACD=90^{\circ}，∠BDE=∠ADC\angle BDE=\angle ADC，
∴∠CBE=∠CAD\therefore \angle CBE=\angle CAD，
∵CG⊥CE\because CG\bot CE，
∴∠GCE=90∘\therefore \angle GCE=90^{\circ}，
∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，
∴∠GCE=∠ACB\therefore \angle GCE=\angle ACB，
∴∠ACB−∠GCB=∠GCE−∠GCB\therefore \angle ACB-\angle GCB=\angle GCE-\angle GCB，
∴∠ACG=∠BCE\therefore \angle ACG=\angle BCE，
∵AC=BC\because AC=BC，
∴△ACG\therefore \triangle ACG≌△BCE(ASA)\triangle BCE\left(ASA\right)，
∴AG=BE\therefore AG=BE，CG=CECG=CE，
∴△CGE\therefore \triangle CGE是等腰直角三角形，
∴∠CGF=45∘\therefore \angle CGF=45^{\circ}，
∵∠CFG=90∘\because \angle CFG=90^{\circ}，
∴∠GCF=45∘\therefore \angle GCF=45^{\circ}，
∴CF=GF\therefore CF=GF，
∵CF=BE\because CF=BE，
∴BE=GF\therefore BE=GF，
∵AG=BE\because AG=BE，
∴AG=GF=BE\therefore AG=GF=BE，
∴AF=AG+GF\therefore AF=AG+GF，
∴AF=2BE\therefore AF=2BE；
(3)(3)如图33，取AMAM中点NN，连接BNBN，

∵\because作△ACF\triangle ACF关于直线ACAC成轴对称的△ACM\triangle ACM，
∴△ACF\therefore \triangle ACF≌△ACM\triangle ACM，
∴AM=AF\therefore AM=AF，∠CAM=∠CAF\angle CAM=\angle CAF，
由（2）知AF=2BEAF=2BE，
∴AM=2BE\therefore AM=2BE，
∵BE=2\because BE=2，
∴AM=4\therefore AM=4，
∵N\because N是AMAM的中点，
∴AM=2AN\therefore AM=2AN，
∴AN=BE\therefore AN=BE，
∵∠CBE=∠CAF\because \angle CBE=\angle CAF，
∴∠CBE=∠CAM\therefore \angle CBE=\angle CAM，
∵△ABC\because \triangle ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠CBA=45∘\therefore \angle CAB=\angle CBA=45^{\circ}，
∴∠CAB+∠CAM=∠CBA+∠CBE\therefore \angle CAB+\angle CAM=\angle CBA+\angle CBE，
即∠MAB=∠EBA\angle MAB=\angle EBA，
在△NAB\triangle NAB与△EBA\triangle EBA中，
{NA=EB∠NAB=∠EBAAB=BA\left\{\begin{array}{l}{NA=EB}\\{∠NAB=∠EBA}\\{AB=BA}\end{array}\right.，
∴△NAB\therefore \triangle NAB≌△EBA(SAS)\triangle EBA\left(SAS\right)，
∴BN=AE\therefore BN=AE，∠ANB=∠BEA=90∘\angle ANB=\angle BEA=90^{\circ}，
∴BN⊥AM\therefore BN\bot AM，
由（2）知CF=EF=BE=2CF=EF=BE=2，
∴AE=AF+EF=2BE+BE=3BE=6\therefore AE=AF+EF=2BE+BE=3BE=6，
∴BN=6\therefore BN=6，
∴S△ABM=12AM⋅BN=12×4×6=12\therefore S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}AM\cdot BN=\frac{1}{2}\times 4\times 6=12.

解析

(1)(1)证明：∵AC⊥BC\because AC\bot BC，BD⊥ADBD\bot AD，
∴∠C=∠D=90∘\therefore \angle C=\angle D=90^{\circ}，
在Rt△ABCRt\triangle ABC与Rt△BADRt\triangle BAD中，
{AB=BAAC=BD\left\{\begin{array}{l}{AB=BA}\\{AC=BD}\end{array}\right.，
∴Rt△ABC\therefore Rt\triangle ABC≌Rt△BAD(HL)Rt\triangle BAD\left(HL\right)，
∴BC=AD\therefore BC=AD；
(2)(2)证明：如图，22，连接CECE，作CG⊥CECG\bot CE交AFAF于GG，

∵BE⊥AD\because BE\bot AD交ADAD延长线于点EE，
∴∠BED=∠CFD=90∘\therefore \angle BED=\angle CFD=90^{\circ}，
∵∠BDE=∠CDF\because \angle BDE=\angle CDF，DD为BCBC中点，
∴BD=CD\therefore BD=CD，
∴△BDE\therefore \triangle BDE≌△CDF(AAS)\triangle CDF\left(AAS\right)，
∴BE=CF\therefore BE=CF，
∵∠BED=∠ACD=90∘\because \angle BED=\angle ACD=90^{\circ}，∠BDE=∠ADC\angle BDE=\angle ADC，
∴∠CBE=∠CAD\therefore \angle CBE=\angle CAD，
∵CG⊥CE\because CG\bot CE，
∴∠GCE=90∘\therefore \angle GCE=90^{\circ}，
∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，
∴∠GCE=∠ACB\therefore \angle GCE=\angle ACB，
∴∠ACB−∠GCB=∠GCE−∠GCB\therefore \angle ACB-\angle GCB=\angle GCE-\angle GCB，
∴∠ACG=∠BCE\therefore \angle ACG=\angle BCE，
∵AC=BC\because AC=BC，
∴△ACG\therefore \triangle ACG≌△BCE(ASA)\triangle BCE\left(ASA\right)，
∴AG=BE\therefore AG=BE，CG=CECG=CE，
∴△CGE\therefore \triangle CGE是等腰直角三角形，
∴∠CGF=45∘\therefore \angle CGF=45^{\circ}，
∵∠CFG=90∘\because \angle CFG=90^{\circ}，
∴∠GCF=45∘\therefore \angle GCF=45^{\circ}，
∴CF=GF\therefore CF=GF，
∵CF=BE\because CF=BE，
∴BE=GF\therefore BE=GF，
∵AG=BE\because AG=BE，
∴AG=GF=BE\therefore AG=GF=BE，
∴AF=AG+GF\therefore AF=AG+GF，
∴AF=2BE\therefore AF=2BE；
(3)(3)如图33，取AMAM中点NN，连接BNBN，

∵\because作△ACF\triangle ACF关于直线ACAC成轴对称的△ACM\triangle ACM，
∴△ACF\therefore \triangle ACF≌△ACM\triangle ACM，
∴AM=AF\therefore AM=AF，∠CAM=∠CAF\angle CAM=\angle CAF，
由（2）知AF=2BEAF=2BE，
∴AM=2BE\therefore AM=2BE，
∵BE=2\because BE=2，
∴AM=4\therefore AM=4，
∵N\because N是AMAM的中点，
∴AM=2AN\therefore AM=2AN，
∴AN=BE\therefore AN=BE，
∵∠CBE=∠CAF\because \angle CBE=\angle CAF，
∴∠CBE=∠CAM\therefore \angle CBE=\angle CAM，
∵△ABC\because \triangle ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠CBA=45∘\therefore \angle CAB=\angle CBA=45^{\circ}，
∴∠CAB+∠CAM=∠CBA+∠CBE\therefore \angle CAB+\angle CAM=\angle CBA+\angle CBE，
即∠MAB=∠EBA\angle MAB=\angle EBA，
在△NAB\triangle NAB与△EBA\triangle EBA中，
{NA=EB∠NAB=∠EBAAB=BA\left\{\begin{array}{l}{NA=EB}\\{∠NAB=∠EBA}\\{AB=BA}\end{array}\right.，
∴△NAB\therefore \triangle NAB≌△EBA(SAS)\triangle EBA\left(SAS\right)，
∴BN=AE\therefore BN=AE，∠ANB=∠BEA=90∘\angle ANB=\angle BEA=90^{\circ}，
∴BN⊥AM\therefore BN\bot AM，
由（2）知CF=EF=BE=2CF=EF=BE=2，
∴AE=AF+EF=2BE+BE=3BE=6\therefore AE=AF+EF=2BE+BE=3BE=6，
∴BN=6\therefore BN=6，
∴S△ABM=12AM⋅BN=12×4×6=12\therefore S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}AM\cdot BN=\frac{1}{2}\times 4\times 6=12.

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