【教材再现】
$(1)$期中复习期间,数学老师沈老师将教材$42$页例$5$复印下来,请你再一次完成证明.
如图$1$,$AC\bot BC$,$BD\bot AD$,垂足分别为$C$,$D$,$AC=BD$.求证:$BC=AD$.

【变式拓展】
$(2)$沈老师改变（1）中的条件和图形,提出下面的问题,请你解答.
如图$2$,$\triangle ABC$是等腰直角三角形,$AC=BC$,$\angle ACB=90^{\circ}$,$D$为$BC$中点,$BE\bot AD$交$AD$延长线于点$E$,$CF\bot AD$于$F$.求证:$AF=2BE$；
【学以致用】
$(3)$在（2）的条件下,如图$3$,作$\triangle ACF$关于直线$AC$成轴对称的$\triangle ACM$,连接$BM$,若$BE=2$,求$\triangle ABM$的面积.