（1）设$1$辆$A$型车和$1$辆$B$型车一次分别可以运货$x$吨，$y$吨，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}3x+2y=38\\ x+3y=36\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=10\end{array}\right.$，
答：$1$辆$A$型车一次可以运货$6$吨，$1$辆$B$型车一次可以运货$10$吨；
$(2)$设租用$A$型车$a$辆，$B$型车$b$辆，
根据题意得$6a+10b=114$，
则有$\left\{\begin{array}{l}a≥0\\ b=\frac{57-3a}{5}≥0\end{array}\right.$
解得：$0\leqslant a\leqslant 19$，
$\because a$为正整数，
$\therefore a=1$，$2$，...，$10$，$11$，$12$，$13$，$14$，$15$，$16$，$17$，$18$，$19$.
$\because b=\frac{57-3a}{5}$为正整数，
$\therefore a=4$，$9$，$14$，
$\therefore$满足条件的租车方案一共有$3$种，$a=4$，$b=9$；$a=9$，$b=6$；$a=14$，$b=3$.
$(3)\because A$型车每辆需租金$800$元$/$次，$B$型车每辆需租金$1000$元$/$次，
当$a=4$，$b=9$，租车费用为：$W=800x4+9x 1000=12200$元；
当$a=9$，$b=6$，租车费用为：$W=800x9+6x 1000=13200$元；
当$a=14$，$b=3$，租车费用为：$W=800x14+3x1000=14200$元
$\therefore$当租用$A$型车$4$辆，$B$型车$9$辆时，租车费最少，
故答案为：租用$A$型车$4$辆，$B$型车$9$辆.

（1）设$1$辆$A$型车和$1$辆$B$型车一次分别可以运货$x$吨，$y$吨，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}3x+2y=38\\ x+3y=36\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=10\end{array}\right.$，
答：$1$辆$A$型车一次可以运货$6$吨，$1$辆$B$型车一次可以运货$10$吨；
$(2)$设租用$A$型车$a$辆，$B$型车$b$辆，
根据题意得$6a+10b=114$，
则有$\left\{\begin{array}{l}a≥0\\ b=\frac{57-3a}{5}≥0\end{array}\right.$
解得：$0\leqslant a\leqslant 19$，
$\because a$为正整数，
$\therefore a=1$，$2$，...，$10$，$11$，$12$，$13$，$14$，$15$，$16$，$17$，$18$，$19$.
$\because b=\frac{57-3a}{5}$为正整数，
$\therefore a=4$，$9$，$14$，
$\therefore$满足条件的租车方案一共有$3$种，$a=4$，$b=9$；$a=9$，$b=6$；$a=14$，$b=3$.
$(3)\because A$型车每辆需租金$800$元$/$次，$B$型车每辆需租金$1000$元$/$次，
当$a=4$，$b=9$，租车费用为：$W=800x4+9x 1000=12200$元；
当$a=9$，$b=6$，租车费用为：$W=800x9+6x 1000=13200$元；
当$a=14$，$b=3$，租车费用为：$W=800x14+3x1000=14200$元
$\therefore$当租用$A$型车$4$辆，$B$型车$9$辆时，租车费最少，
故答案为：租用$A$型车$4$辆，$B$型车$9$辆.