B

设每个“田”字格四个数的和为$m$，共$12$个数的和为$3m$，有两数重复，
设这两数分别为$a$，$b$，
所以$3$个“田”字形所填数的总和为：
$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+a+b=55+a+b$.
则有$3m=55+a+b$，
要$m$最大，必须$a$、$b$最大，
而$a+b$最大值为$9+10=19$，
则$3m\leqslant 55+9+10$，则$m\leqslant 24\frac{2}{3}$，
则$m$最大整数值为$24$，
故选：$B$.