如图所示,在矩形$ABCD$中,$AB=4$,$BC=2$,以$BC$的中点$O$为圆心,$BC$的长为直径在$BC$上方作半圆$O$,动点$M$以每秒$1$个单位长度的速度从点$B$向点$A$运动,动点$N$以每秒$2$个单位长度的速度沿折线$A-D-C$向点$C$运动,两点同时出发,其中一点到达终点后,两点同时停止运动,运动时间为$t$秒.
$(1)$当$MN$∥$BC$时$,t=\_\_\_\_\_\_,$此时$MN$所在的直线与$\odot O$的位置关系为______$(填"相交""相切"或"相离")$.
$(2)$如图$2$,当点$N$运动至点$C$处时,$MN$与半圆$O$交于点$P$,连接$BP$.
①求证:$\angle BMC=\angle PBC$.
②求弦$PC$的长.
$(3)$如图$3$,$E$为$AB$的中点,过点$E$作$EF$∥$BC$,当$2 \lt t\leqslant 3$时,$MN$与$EF$交于点$Q$.请判断点$Q$的位置是否发生变化,若变化,请说明理由；若不变,请直接写出$EQ$的长.