题霸题霸学习平台
登录开始使用
← 返回公开题库
九年级数学填空题一般
题目
如图所示,在矩形ABCDABCD中,AB=4AB=4,BC=2BC=2,以BCBC的中点OO为圆心,BCBC的长为直径在BCBC上方作半圆OO,动点MM以每秒11个单位长度的速度从点BB向点AA运动,动点NN以每秒22个单位长度的速度沿折线A−D−CA-D-C向点CC运动,两点同时出发,其中一点到达终点后,两点同时停止运动,运动时间为tt秒.
(1)(1)当MNMN∥BCBC时,t=______,,t=\_\_\_\_\_\_,此时MNMN所在的直线与⊙O\odot O的位置关系为______(填"相交""相切"或"相离")(填"相交""相切"或"相离").
(2)(2)如图22,当点NN运动至点CC处时,MNMN与半圆OO交于点PP,连接BPBP.
①求证:∠BMC=∠PBC\angle BMC=\angle PBC.
②求弦PCPC的长.
(3)(3)如图33,EE为ABAB的中点,过点EE作EFEF∥BCBC,当2<t⩽32 \lt t\leqslant 3时,MNMN与EFEF交于点QQ.请判断点QQ的位置是否发生变化,若变化,请说明理由；若不变,请直接写出EQEQ的长.
知识点：平行四边形的判定、梯形的定义、等腰梯形的判定章节：未标注

答案与解析

答案

(1)(1)由题意可得，AM=4−tAM=4-t，DN=2t−2DN=2t-2，
当MNMN∥BCBC时，AM=DNAM=DN，
∴4−t=2t−2\therefore 4-t=2t-2，
解得t=2t=2，
∴BM=2×1=2\therefore BM=2\times 1=2，
∴MN\therefore MN所在的直线与⊙O\odot O的位置关系为相切，
故答案为：22，相切；
(2)(2)①证明：当点NN运动至点CC处时，用时为2+42=3\frac{2+4}{2}=3秒，
∴BM=3×1=3\therefore BM=3\times 1=3，
在矩形ABCDABCD中，∠MBC=90∘\angle MBC=90^{\circ}，
∴MC=BM2+BC2=32+22=13\therefore MC=\sqrt{BM^2+BC^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}，
∵\because点PP在圆OO上，
∴∠BPC=90∘\therefore \angle BPC=90^{\circ}，
∴∠PBC+∠PCB=90∘\therefore \angle PBC+\angle PCB=90^{\circ}，
又∵∠BMC+∠PCB=90∘\because \angle BMC+\angle PCB=90^{\circ}，
∴∠BMC=∠PBC\therefore \angle BMC=\angle PBC；
②设PC=xPC=x，
∵∠BMC=∠PBC\because \angle BMC=\angle PBC，∠BCM=∠PCB\angle BCM=\angle PCB，
∴△MBC\therefore \triangle MBC∽△BPC\triangle BPC，
∴MCBC=BCPC\therefore \frac{MC}{BC}=\frac{BC}{PC}，
∴132=2PC\therefore \frac{\sqrt{13}}{2}=\frac{2}{PC}，
∴PC=41313\therefore PC=\frac{4\sqrt{13}}{13}；
(3)(3)在矩形ABCDABCD中，∠EBC=∠FCB=90∘\angle EBC=\angle FCB=90^{\circ}，ABAB∥DCDC，
∵EF\because EF∥BCBC，
∴∠CBE=90∘\therefore \angle CBE=90^{\circ}，
∴\therefore四边形EBCFEBCF为矩形，
∴EF=BC=2\therefore EF=BC=2，
∵E\because E为ABAB的中点，
∴EB=FC=12AB=2\therefore EB=FC=\frac{1}{2}AB=2，
∴DF=4−2=2\therefore DF=4-2=2，
∴EM=t−2\therefore EM=t-2，FN=2t−2−2=2t−4FN=2t-2-2=2t-4，
∵AB\because AB∥DCDC，
∴∠EMQ=∠FNQ\therefore \angle EMQ=\angle FNQ，∠MEQ=∠NFQ\angle MEQ=\angle NFQ，
∴△MEQ\therefore \triangle MEQ∽△NFQ\triangle NFQ，
∴EQFQ=EMFN\therefore \frac{EQ}{FQ}=\frac{EM}{FN}，
∴EQFQ=t−22t−4=12\therefore \frac{EQ}{FQ}=\frac{t-2}{2t-4}=\frac{1}{2}，
∴EQ=13EF=23\therefore EQ=\frac{1}{3}EF=\frac{2}{3}，
∴\therefore点QQ的位置不会发生变化，EQEQ的长为23\frac{2}{3}.

解析

(1)(1)由题意可得，AM=4−tAM=4-t，DN=2t−2DN=2t-2，
当MNMN∥BCBC时，AM=DNAM=DN，
∴4−t=2t−2\therefore 4-t=2t-2，
解得t=2t=2，
∴BM=2×1=2\therefore BM=2\times 1=2，
∴MN\therefore MN所在的直线与⊙O\odot O的位置关系为相切，
故答案为：22，相切；
(2)(2)①证明：当点NN运动至点CC处时，用时为2+42=3\frac{2+4}{2}=3秒，
∴BM=3×1=3\therefore BM=3\times 1=3，
在矩形ABCDABCD中，∠MBC=90∘\angle MBC=90^{\circ}，
∴MC=BM2+BC2=32+22=13\therefore MC=\sqrt{BM^2+BC^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}，
∵\because点PP在圆OO上，
∴∠BPC=90∘\therefore \angle BPC=90^{\circ}，
∴∠PBC+∠PCB=90∘\therefore \angle PBC+\angle PCB=90^{\circ}，
又∵∠BMC+∠PCB=90∘\because \angle BMC+\angle PCB=90^{\circ}，
∴∠BMC=∠PBC\therefore \angle BMC=\angle PBC；
②设PC=xPC=x，
∵∠BMC=∠PBC\because \angle BMC=\angle PBC，∠BCM=∠PCB\angle BCM=\angle PCB，
∴△MBC\therefore \triangle MBC∽△BPC\triangle BPC，
∴MCBC=BCPC\therefore \frac{MC}{BC}=\frac{BC}{PC}，
∴132=2PC\therefore \frac{\sqrt{13}}{2}=\frac{2}{PC}，
∴PC=41313\therefore PC=\frac{4\sqrt{13}}{13}；
(3)(3)在矩形ABCDABCD中，∠EBC=∠FCB=90∘\angle EBC=\angle FCB=90^{\circ}，ABAB∥DCDC，
∵EF\because EF∥BCBC，
∴∠CBE=90∘\therefore \angle CBE=90^{\circ}，
∴\therefore四边形EBCFEBCF为矩形，
∴EF=BC=2\therefore EF=BC=2，
∵E\because E为ABAB的中点，
∴EB=FC=12AB=2\therefore EB=FC=\frac{1}{2}AB=2，
∴DF=4−2=2\therefore DF=4-2=2，
∴EM=t−2\therefore EM=t-2，FN=2t−2−2=2t−4FN=2t-2-2=2t-4，
∵AB\because AB∥DCDC，
∴∠EMQ=∠FNQ\therefore \angle EMQ=\angle FNQ，∠MEQ=∠NFQ\angle MEQ=\angle NFQ，
∴△MEQ\therefore \triangle MEQ∽△NFQ\triangle NFQ，
∴EQFQ=EMFN\therefore \frac{EQ}{FQ}=\frac{EM}{FN}，
∴EQFQ=t−22t−4=12\therefore \frac{EQ}{FQ}=\frac{t-2}{2t-4}=\frac{1}{2}，
∴EQ=13EF=23\therefore EQ=\frac{1}{3}EF=\frac{2}{3}，
∴\therefore点QQ的位置不会发生变化，EQEQ的长为23\frac{2}{3}.

AI 自由组卷

围绕这道题再组一份练习 →

完整试卷

浏览同年级试卷结构 →