在图$1$到图$3$中,点$O$是正方形$ABCD$对角线$AC$的中点,$\triangle MPN$为直角三角形,$\angle MPN=90^{\circ}$.正方形$ABCD$保持不动,$\triangle MPN$沿射线$AC$向右平移,平移过程中$P$点始终在射线$AC$上,且保持$PM$垂直于直线$AB$于点$E$,$PN$垂直于直线$BC$于点$F$.
$(1)$如图$1$,当点$P$与点$O$重合时,$OE$与$OF$的数量关系为______；
$(2)$如图$2$,当$P$在线段$OC$上时,猜想$OE$与$OF$有怎样的数量关系与位置关系?并对你的猜想结果给予证明；
$(3)$如图$3$,当点$P$在$AC$的延长线上时,$OE$与$OF$的数量关系为______；位置关系为______.