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九年级数学填空题一般
题目
在图11到图33中,点OO是正方形ABCDABCD对角线ACAC的中点,△MPN\triangle MPN为直角三角形,∠MPN=90∘\angle MPN=90^{\circ}.正方形ABCDABCD保持不动,△MPN\triangle MPN沿射线ACAC向右平移,平移过程中PP点始终在射线ACAC上,且保持PMPM垂直于直线ABAB于点EE,PNPN垂直于直线BCBC于点FF.
(1)(1)如图11,当点PP与点OO重合时,OEOE与OFOF的数量关系为______；
(2)(2)如图22,当PP在线段OCOC上时,猜想OEOE与OFOF有怎样的数量关系与位置关系?并对你的猜想结果给予证明；
(3)(3)如图33,当点PP在ACAC的延长线上时,OEOE与OFOF的数量关系为______；位置关系为______.
知识点：全等三角形的判定、平移的性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质章节：未标注

答案与解析

答案

(1)(1)由题意得：
∠BAC=∠BCA=45∘\angle BAC=\angle BCA=45^{\circ}，AO=PAAO=PA，
∠AEO=∠AFO\angle AEO=\angle AFO，
在△AEO\triangle AEO和△CFO\triangle CFO中
{∠OEA=∠OFC∠EAO=∠FOCAO=CO\left\{\begin{array}{l}{∠OEA=∠OFC}\\{∠EAO=∠FOC}\\{AO=CO}\end{array}\right.，
∴△AEO\therefore \triangle AEO≌△CFO(AAS)\triangle CFO\left(AAS\right)
∴OE=OF(\therefore OE=OF(相等);(1分));(1分)

(2)(2)OE=OFOE=OF，OE⊥OFOE\bot OF，(3分)(3分)
证明：连接BOBO，
∵\because在正方形ABCDABCD中，OO为ACAC中点，
∴BO=CO\therefore BO=CO，BO⊥ACBO\bot AC，∠BCA=∠ABO=45∘\angle BCA=\angle ABO=45^{\circ}，(4分)(4分)
∵PF⊥BC\because PF\bot BC，∠BCO=45∘\angle BCO=45^{\circ}，
∴∠FPC=45∘\therefore \angle FPC=45^{\circ}，PF=FCPF=FC.
∵\because正方形ABCDABCD，∠ABC=90∘\angle ABC=90^{\circ}，
∵PF⊥BC\because PF\bot BC，PE⊥ABPE\bot AB，
∴∠PEB=∠PFB=90∘\therefore \angle PEB=\angle PFB=90^{\circ}.
∴\therefore四边形PEBFPEBF是矩形，
∴BE=PF.(5分)\therefore BE=PF.(5分)
∴BE=FC\therefore BE=FC.
∴△OBE\therefore \triangle OBE≌△OCF\triangle OCF，
∴OE=OF\therefore OE=OF，∠BOE=∠COF\angle BOE=\angle COF，(7分)(7分)
∵∠COF+∠BOF=90∘\because \angle COF+\angle BOF=90^{\circ}，
∴∠BOE+∠BOF=90∘\therefore \angle BOE+\angle BOF=90^{\circ}，
∴∠EOF=90∘\therefore \angle EOF=90^{\circ}.
∴OE⊥OF.(8分)\therefore OE\bot OF.(8分)

(3)OE=OF((3)OE=OF(相等),OE⊥OF(),OE\bot OF(垂直).(10分)).(10分)
理由：连接BOBO，
∵\because在正方形ABCDABCD中，OO为ACAC中点，
∴BO=CO\therefore BO=CO，BO⊥ACBO\bot AC，∠BCA=∠ABO=45∘\angle BCA=\angle ABO=45^{\circ}，
∴∠OCF=∠OBE\therefore \angle OCF=\angle OBE
∵PF⊥BC\because PF\bot BC，∠BCO=45∘\angle BCO=45^{\circ}，
∴∠FPC=45∘\therefore \angle FPC=45^{\circ}，PF=FCPF=FC.
∵\because正方形ABCDABCD，∠ABC=90∘\angle ABC=90^{\circ}，
∵PF⊥BC\because PF\bot BC，PE⊥ABPE\bot AB，
∴∠PEB=∠PFB=90∘\therefore \angle PEB=\angle PFB=90^{\circ}.
∴\therefore四边形PEBFPEBF是矩形，
∴BE=PF\therefore BE=PF.
∴BE=FC\therefore BE=FC.
∴△OBE\therefore \triangle OBE≌△OCF\triangle OCF，
∴OE=OF\therefore OE=OF，∠BOE=∠COF\angle BOE=\angle COF，
∵∠COF+∠BOF=90∘\because \angle COF+\angle BOF=90^{\circ}，
∴∠BOE+∠BOF=90∘\therefore \angle BOE+\angle BOF=90^{\circ}，
∴∠EOF=90∘\therefore \angle EOF=90^{\circ}.
∴OE⊥OF\therefore OE\bot OF.

解析

(1)(1)由题意得：
∠BAC=∠BCA=45∘\angle BAC=\angle BCA=45^{\circ}，AO=PAAO=PA，
∠AEO=∠AFO\angle AEO=\angle AFO，
在△AEO\triangle AEO和△CFO\triangle CFO中
{∠OEA=∠OFC∠EAO=∠FOCAO=CO\left\{\begin{array}{l}{∠OEA=∠OFC}\\{∠EAO=∠FOC}\\{AO=CO}\end{array}\right.，
∴△AEO\therefore \triangle AEO≌△CFO(AAS)\triangle CFO\left(AAS\right)
∴OE=OF(\therefore OE=OF(相等);(1分));(1分)

(2)(2)OE=OFOE=OF，OE⊥OFOE\bot OF，(3分)(3分)
证明：连接BOBO，
∵\because在正方形ABCDABCD中，OO为ACAC中点，
∴BO=CO\therefore BO=CO，BO⊥ACBO\bot AC，∠BCA=∠ABO=45∘\angle BCA=\angle ABO=45^{\circ}，(4分)(4分)
∵PF⊥BC\because PF\bot BC，∠BCO=45∘\angle BCO=45^{\circ}，
∴∠FPC=45∘\therefore \angle FPC=45^{\circ}，PF=FCPF=FC.
∵\because正方形ABCDABCD，∠ABC=90∘\angle ABC=90^{\circ}，
∵PF⊥BC\because PF\bot BC，PE⊥ABPE\bot AB，
∴∠PEB=∠PFB=90∘\therefore \angle PEB=\angle PFB=90^{\circ}.
∴\therefore四边形PEBFPEBF是矩形，
∴BE=PF.(5分)\therefore BE=PF.(5分)
∴BE=FC\therefore BE=FC.
∴△OBE\therefore \triangle OBE≌△OCF\triangle OCF，
∴OE=OF\therefore OE=OF，∠BOE=∠COF\angle BOE=\angle COF，(7分)(7分)
∵∠COF+∠BOF=90∘\because \angle COF+\angle BOF=90^{\circ}，
∴∠BOE+∠BOF=90∘\therefore \angle BOE+\angle BOF=90^{\circ}，
∴∠EOF=90∘\therefore \angle EOF=90^{\circ}.
∴OE⊥OF.(8分)\therefore OE\bot OF.(8分)

(3)OE=OF((3)OE=OF(相等),OE⊥OF(),OE\bot OF(垂直).(10分)).(10分)
理由：连接BOBO，
∵\because在正方形ABCDABCD中，OO为ACAC中点，
∴BO=CO\therefore BO=CO，BO⊥ACBO\bot AC，∠BCA=∠ABO=45∘\angle BCA=\angle ABO=45^{\circ}，
∴∠OCF=∠OBE\therefore \angle OCF=\angle OBE
∵PF⊥BC\because PF\bot BC，∠BCO=45∘\angle BCO=45^{\circ}，
∴∠FPC=45∘\therefore \angle FPC=45^{\circ}，PF=FCPF=FC.
∵\because正方形ABCDABCD，∠ABC=90∘\angle ABC=90^{\circ}，
∵PF⊥BC\because PF\bot BC，PE⊥ABPE\bot AB，
∴∠PEB=∠PFB=90∘\therefore \angle PEB=\angle PFB=90^{\circ}.
∴\therefore四边形PEBFPEBF是矩形，
∴BE=PF\therefore BE=PF.
∴BE=FC\therefore BE=FC.
∴△OBE\therefore \triangle OBE≌△OCF\triangle OCF，
∴OE=OF\therefore OE=OF，∠BOE=∠COF\angle BOE=\angle COF，
∵∠COF+∠BOF=90∘\because \angle COF+\angle BOF=90^{\circ}，
∴∠BOE+∠BOF=90∘\therefore \angle BOE+\angle BOF=90^{\circ}，
∴∠EOF=90∘\therefore \angle EOF=90^{\circ}.
∴OE⊥OF\therefore OE\bot OF.

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