（1）设每个$A$种书包的进价是$x$元，则每个$B$种书包的进价是$\left(x+10\right)$元，
$\therefore \frac{700}{x}=\frac{450}{x+20}\times 2$，
$x=70$，
经检验，$x=70$是所列方程的解，且符合题意，
$\therefore x+20=70+20=90$.
答：每个$A$种书包的进价是$70$元，每个$B$种书包的进价是$90$元；
$(2)$设该商场购进$m$个$A$种书包，则购进$\left(2m+5\right)$个$B$种书包，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{m≥18}\\{70m+90(2m+5)≤5450}\end{array}\right.$，
解得：$18\leqslant m\leqslant 20$，
又$\because m$为正整数，
$\therefore m$的值可以为$18$，$19$，$20$，
$\therefore$该商场共有$3$种进货方案，
方案$1$：购进$18$个$A$种书包，$41$个$B$种书包；
方案$2$：购进$19$个$A$种书包，$43$个$B$种书包；
方案$3$：购进$20$个$A$种书包，$45$个$B$种书包.

（1）设每个$A$种书包的进价是$x$元，则每个$B$种书包的进价是$\left(x+10\right)$元，
$\therefore \frac{700}{x}=\frac{450}{x+20}\times 2$，
$x=70$，
经检验，$x=70$是所列方程的解，且符合题意，
$\therefore x+20=70+20=90$.
答：每个$A$种书包的进价是$70$元，每个$B$种书包的进价是$90$元；
$(2)$设该商场购进$m$个$A$种书包，则购进$\left(2m+5\right)$个$B$种书包，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{m≥18}\\{70m+90(2m+5)≤5450}\end{array}\right.$，
解得：$18\leqslant m\leqslant 20$，
又$\because m$为正整数，
$\therefore m$的值可以为$18$，$19$，$20$，
$\therefore$该商场共有$3$种进货方案，
方案$1$：购进$18$个$A$种书包，$41$个$B$种书包；
方案$2$：购进$19$个$A$种书包，$43$个$B$种书包；
方案$3$：购进$20$个$A$种书包，$45$个$B$种书包.