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九年级数学解答题一般
题目
阅读材料,解答问题.
解方程:(4x−1)2−10(4x−1)+24=0\left(4x-1\right)^{2}-10\left(4x-1\right)+24=0.
解:把4x−14x-1视为一个整体,设4x−1=y4x-1=y,
则原方程可化为y2−10y+24=0y^{2}-10y+24=0.
解得y1=6y_{1}=6,y2=4y_{2}=4.
∴4x−1=6\therefore 4x-1=6或4x−1=44x-1=4.
∴x1=74\therefore {x}_{1}=\frac{7}{4},x2=54{x}_{2}=\frac{5}{4}.
以上方法就叫换元法,达到简化或降次的目的,体现了转化的思想.
请仿照材料解下列方程:
(x2−2x)2−5x2+10x−6=0(x^{2}-2x)^{2}-5x^{2}+10x-6=0.
知识点：解一元二次方程——因式分解法、换元法解分式方程章节：未标注

答案与解析

答案

设x2−2x=tx^{2}-2x=t，
则原方程为：t2−5t−6=0t^{2}-5t-6=0，
∴(t−6)(t+1)=0\therefore \left(t-6\right)\left(t+1\right)=0，
解得t1=6t_{1}=6，t2=−1t_{2}=-1，
则x2−2x=6x^{2}-2x=6或x2−2x=−1x^{2}-2x=-1，
∴x2−2x−6=0\therefore x^{2}-2x-6=0，
Δ=(−2)2−4×1×(−6)=28\Delta =\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times \left(-6\right)=28，
∴x=2±282=1±7\therefore x=\frac{2±\sqrt{28}}{2}=1±\sqrt{7}，
∴x1=1+7，x2=1−7\therefore {x}_{1}=1+\sqrt{7}，{x}_{2}=1-\sqrt{7}；
当x2−2x=−1x^{2}-2x=-1时，
∴x2−2x+1=(x−1)2=0\therefore x^{2}-2x+1=\left(x-1\right)^{2}=0，
∴x=1\therefore x=1，
综上：(x2−2x)2−5x2+10x−6=0(x^{2}-2x)^{2}-5x^{2}+10x-6=0的解是x1=1+7，x2=1−7，x3=1{x}_{1}=1+\sqrt{7}，{x}_{2}=1-\sqrt{7}，{x}_{3}=1.

解析

设x2−2x=tx^{2}-2x=t，
则原方程为：t2−5t−6=0t^{2}-5t-6=0，
∴(t−6)(t+1)=0\therefore \left(t-6\right)\left(t+1\right)=0，
解得t1=6t_{1}=6，t2=−1t_{2}=-1，
则x2−2x=6x^{2}-2x=6或x2−2x=−1x^{2}-2x=-1，
∴x2−2x−6=0\therefore x^{2}-2x-6=0，
Δ=(−2)2−4×1×(−6)=28\Delta =\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times \left(-6\right)=28，
∴x=2±282=1±7\therefore x=\frac{2±\sqrt{28}}{2}=1±\sqrt{7}，
∴x1=1+7，x2=1−7\therefore {x}_{1}=1+\sqrt{7}，{x}_{2}=1-\sqrt{7}；
当x2−2x=−1x^{2}-2x=-1时，
∴x2−2x+1=(x−1)2=0\therefore x^{2}-2x+1=\left(x-1\right)^{2}=0，
∴x=1\therefore x=1，
综上：(x2−2x)2−5x2+10x−6=0(x^{2}-2x)^{2}-5x^{2}+10x-6=0的解是x1=1+7，x2=1−7，x3=1{x}_{1}=1+\sqrt{7}，{x}_{2}=1-\sqrt{7}，{x}_{3}=1.

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