如图$1$,在矩形$ABCD$中,边长$AB=a$,$AD=b$,其中$a$、$b\left(a \lt b\right)$分别是方程$x^{2}-7x+12=0$的两个根,连接$BD$.点$O$从点$C$出发,沿$CB$向点$B$运动（到达点$B$停止运动）,速度为$1$个单位每秒,设运动时间为$t$秒.

$(1)BD=\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$如图$2$,在运动过程中,以$O$为圆心,$OC$的长为半径作半圆,交射线$CB$于点$Q$,当$t$为______时,点$O$运动到$\angle BDC$的角平分线上,此时,半圆$O$与$BD$有怎样的位置关系,并加以说明.
$(3)$如图$3$,在运动过程中,连接$OD$,将$\triangle ODC$沿$OD$折叠,得到$\triangle ODP$,连接$BP$.当$BP$取最小值时,$t$为______,此时,$AP$的值为______.
$(4)$如图$4$,当半圆$O$与$\triangle ABD$的边有两个交点时,直接写出$t$的取值范围.