$\because$点$P\left(2a-3,a+1\right)$关于$y$轴的对称点在第一象限，
$\therefore$点$P$在第二象限，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{2a-3＜0}\\{a+1＞0}\end{array}\right.$，
解得$-1 \lt a \lt \frac{3}{2}$.
故答案为：$-1 \lt a \lt \frac{3}{2}$.

$\because$点$P\left(2a-3,a+1\right)$关于$y$轴的对称点在第一象限，
$\therefore$点$P$在第二象限，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{2a-3＜0}\\{a+1＞0}\end{array}\right.$，
解得$-1 \lt a \lt \frac{3}{2}$.
故答案为：$-1 \lt a \lt \frac{3}{2}$.