如图$1$,在矩形$ABCD$中,$AB=6$,$BC=8$,动点$P$以每秒$\frac{3}{2}$个单位长度的速度沿$A\rightarrow B\rightarrow D$的路径运动,动点$Q$以每秒$2$个单位长度的速度沿$C\rightarrow B\rightarrow D$的路径运动,当点$Q$到达$D$点时,两者都停止运动.设运动时间为$t$秒,点$P$、$Q$的距离为$y$.
$(1)$请直接写出$y$关于$t$的函数表达式并注明自变量$t$的取值范围；
$(2)$在如图$2$所示的平面直角坐标系中画出函数$y$的图象,并写出该函数的一条性质；
$(3)$结合函数图象,请直接写出当函数$y_1=-\frac{1}{2}t+b$与上述函数$y$的图象有两个交点时$b$的取值范围.