题目如图甲,已知在
△ABC中,
∠ACB=90∘,
AC=BC,直线
MN经过点
C,且
AD⊥MN于
D,
BE⊥MN于
E.
(1)证明:
AD+BE=DE.
(2)已知条件不变,将直线
MN绕点
C旋转到图乙的位置时,若
DE=3,
AD=5.5,则
BE=______.
知识点：对顶角、邻补角、全等三角形的判定与性质章节：未标注
答案与解析
答案
(1)证明：
∵AD⊥MN于
D，
BE⊥MN于
E.
∴∠ADC=∠CEB=90∘，
∴∠DAC+∠ACD=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠BCE+∠ACD=90∘，
∴∠BCE=∠CAD，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
∴AD=CE，
BE=CD，
∴AD+BE=CE+CD=DE；
(2)∵AD⊥MN于
D，
BE⊥MN于
E.
∴∠ADC=∠CEB=90∘，
∴∠DAC+∠ACD=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠BCE+∠ACD=90∘，
∴∠BCE=∠CAD，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴CE=AD=5.5，
BE=CD，
∴BE=CD=CE−DE=5.5−3=2，
故答案为：
2.
解析
(1)证明：
∵AD⊥MN于
D，
BE⊥MN于
E.
∴∠ADC=∠CEB=90∘，
∴∠DAC+∠ACD=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠BCE+∠ACD=90∘，
∴∠BCE=∠CAD，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
∴AD=CE，
BE=CD，
∴AD+BE=CE+CD=DE；
(2)∵AD⊥MN于
D，
BE⊥MN于
E.
∴∠ADC=∠CEB=90∘，
∴∠DAC+∠ACD=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠BCE+∠ACD=90∘，
∴∠BCE=∠CAD，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴CE=AD=5.5，
BE=CD，
∴BE=CD=CE−DE=5.5−3=2，
故答案为：
2.
