$\left(1\right)\because$四边形$AOBC$为正方形，

设$OA=OB=AC=BC=a$，

$\because S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times OA\cdot OB=\frac{1}{2}a^{2}=8$，

解得：$a=4(负值已舍去)$。

即$A\left(0,4\right)$，$B\left(4,0\right)$，

由点$A$、$B$的坐标得，直线$l$的表达式为：$y=-x+4$；

$(2)$①过点$E$作$EF\bot x$轴，如图，

由题意可得：$\angle AOD=\angle DFE=\angle ADE=90^{\circ}$，

$\therefore \angle ADO+\angle EDF=\angle ADO+\angle OAD=90^{\circ}$，

$\therefore \angle OAD=\angle EDF$，

$\therefore \triangle AOD$≌$\triangle DFE\left(AAS\right)$，

$\therefore DF=OA=4$，$EF=OD$，

$\therefore BF=DF-DB=OA-DB=OB-DB=OD$，

$\therefore EF=BF$，

设$E\left(x,y\right)$，则$D\left(y,0\right)$，$F\left(x,0\right)$，

由题意可得：$OF=OD+DF=OD+OA$，

即$y=x-4$，

$\therefore$点$E$在定直线$y=x-4$上，如图：

作点$A$关于直线$y=x-4$的对称点$T$，连接$CT$交直线$y=x-4$于点$E$，则此时$AE+CE=ET+EC=CT$最小，

根据图象的对称性，点$A$关于$x$轴的对称点$G\left(0,-4\right)$，则点$T\left(8,-4\right)$，

由由点$C$、$T$的坐标得，直线$CT$的表达式为：$y=-2x+12$，

联立$y=x-4$和上式并解得：$x=\frac{16}{3}$，

则点$E(\frac{16}{3}$，$\frac{4}{3})$；

②连接$AE$，由题意可得$\triangle ADE$为等腰直角三角形，$\angle DAE=45^{\circ}$，

$\because$四边形$OACB$为正方形，

$\therefore \angle BAC=\angle DAE=45^{\circ}$，

$\therefore \angle EAC=\angle BAD$，此时点$H$与点$E$重合，

由①可得$E\left(6,2\right)$，

$\therefore H\left(6,2\right)$，

由点$A$、$E$的坐标得：直线$AE$为$y=-\frac{1}{3}x+4$，

当$x=4$时，$y=\frac{8}{3}$，

$\therefore$点$M(4$，$\frac{8}{3})$，

作点$M$关于直线$AC$的对称点$N$，

$\therefore N(4$，$\frac{16}{3})$，

此时$\angle NAC=\angle EAC=\angle BAD$，

$\therefore$点$H$为直线$AN$与$BE$的交点，

$\therefore$直线$AN$为$y=\frac{1}{3}x+4$，

联立$y=\frac{1}{3}x+4$和$y=x-4$并解得：$x=12$，

即$H\left(12,8\right)$.

综上，点$H$坐标为$\left(12,8\right)$或$\left(6,2\right)$.

$\left(1\right)\because$四边形$AOBC$为正方形，

设$OA=OB=AC=BC=a$，

$\because S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times OA\cdot OB=\frac{1}{2}a^{2}=8$，

解得：$a=4(负值已舍去)$。

即$A\left(0,4\right)$，$B\left(4,0\right)$，

由点$A$、$B$的坐标得，直线$l$的表达式为：$y=-x+4$；

$(2)$①过点$E$作$EF\bot x$轴，如图，

由题意可得：$\angle AOD=\angle DFE=\angle ADE=90^{\circ}$，

$\therefore \angle ADO+\angle EDF=\angle ADO+\angle OAD=90^{\circ}$，

$\therefore \angle OAD=\angle EDF$，

$\therefore \triangle AOD$≌$\triangle DFE\left(AAS\right)$，

$\therefore DF=OA=4$，$EF=OD$，

$\therefore BF=DF-DB=OA-DB=OB-DB=OD$，

$\therefore EF=BF$，

设$E\left(x,y\right)$，则$D\left(y,0\right)$，$F\left(x,0\right)$，

由题意可得：$OF=OD+DF=OD+OA$，

即$y=x-4$，

$\therefore$点$E$在定直线$y=x-4$上，如图：

作点$A$关于直线$y=x-4$的对称点$T$，连接$CT$交直线$y=x-4$于点$E$，则此时$AE+CE=ET+EC=CT$最小，

根据图象的对称性，点$A$关于$x$轴的对称点$G\left(0,-4\right)$，则点$T\left(8,-4\right)$，

由由点$C$、$T$的坐标得，直线$CT$的表达式为：$y=-2x+12$，

联立$y=x-4$和上式并解得：$x=\frac{16}{3}$，

则点$E(\frac{16}{3}$，$\frac{4}{3})$；

②连接$AE$，由题意可得$\triangle ADE$为等腰直角三角形，$\angle DAE=45^{\circ}$，

$\because$四边形$OACB$为正方形，

$\therefore \angle BAC=\angle DAE=45^{\circ}$，

$\therefore \angle EAC=\angle BAD$，此时点$H$与点$E$重合，

由①可得$E\left(6,2\right)$，

$\therefore H\left(6,2\right)$，

由点$A$、$E$的坐标得：直线$AE$为$y=-\frac{1}{3}x+4$，

当$x=4$时，$y=\frac{8}{3}$，

$\therefore$点$M(4$，$\frac{8}{3})$，

作点$M$关于直线$AC$的对称点$N$，

$\therefore N(4$，$\frac{16}{3})$，

此时$\angle NAC=\angle EAC=\angle BAD$，

$\therefore$点$H$为直线$AN$与$BE$的交点，

$\therefore$直线$AN$为$y=\frac{1}{3}x+4$，

联立$y=\frac{1}{3}x+4$和$y=x-4$并解得：$x=12$，

即$H\left(12,8\right)$.

综上，点$H$坐标为$\left(12,8\right)$或$\left(6,2\right)$.