$(1)$证明：$\because D$、$E$、$F$分别是$\triangle ABC$三边中点，
$\therefore DE$、$DF$分别是$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore DE$∥$AB,DF$∥$AC$，
$\therefore$四边形$AFDE$是平行四边形
$(2)$如图所示，连接$EF$，

$\because$若四边形$AFDE$是矩形，
$\therefore \angle A=90^{\circ}$，
$\because AE=3$，$AF=5$，
$\therefore EF=\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}=\sqrt{34}$，
$\because E$、$F$分别是$AB$，$AC$的中点，
$\therefore EF$是$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore BC=2EF=2\sqrt{34}$.

$(1)$证明：$\because D$、$E$、$F$分别是$\triangle ABC$三边中点，
$\therefore DE$、$DF$分别是$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore DE$∥$AB,DF$∥$AC$，
$\therefore$四边形$AFDE$是平行四边形
$(2)$如图所示，连接$EF$，

$\because$若四边形$AFDE$是矩形，
$\therefore \angle A=90^{\circ}$，
$\because AE=3$，$AF=5$，
$\therefore EF=\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}=\sqrt{34}$，
$\because E$、$F$分别是$AB$，$AC$的中点，
$\therefore EF$是$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore BC=2EF=2\sqrt{34}$.