$\because$点$P\left(mn,m+n\right)$在第四象限，

$\therefore mn \gt 0$，$m+n \lt 0$，

$\therefore m \lt 0$，$n \lt 0$，

$\therefore$点$Q\left(m,n\right)$在第三象限，

$\therefore Q$点关于$x$轴对称的点在第二象限.

故选：$B$.