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九年级数学解答题一般
题目
如图,在梯形ABCDABCD中,AD,AD∥BCBC,ACAC与BDBD相交于点OO,点EE在线段OBOB上,AEAE的延长线与BCBC相交于点FF,OD2=OB⋅OEOD^{2}=OB\cdot OE.
(1)(1)求证:四边形AFCDAFCD是平行四边形；
(2)(2)如果BC=BDBC=BD,AE⋅AF=AD⋅BFAE\cdot AF=AD\cdot BF,求证:△ABE\triangle ABE∽△ACD.\triangle ACD.
知识点：梯形的定义、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质章节：未标注

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵OD2=OE⋅OB\because OD^{2}=OE\cdot OB，
∴OEOD=ODOB\therefore \frac{OE}{OD}=\frac{OD}{OB}，
∵AD\because AD∥BCBC，
∴△AOD\therefore \triangle AOD∽△COB\triangle COB，
∴OAOC=ODOB\therefore \frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}
∴OAOC=OEOD\therefore \frac{OA}{OC}=\frac{OE}{OD}
∴AF\therefore AF∥CDCD，
∴\therefore四边形AFCDAFCD是平行四边形；
(2)(2)证明：∵AF\because AF∥CDCD，
∴∠AED=∠BDC,△BEF\therefore \angle AED=\angle BDC,\triangle BEF∽△BDC\triangle BDC，
∴BEBD=BFBC\therefore \frac{BE}{BD}=\frac{BF}{BC}，
∵BC=BD\because BC=BD，
∴BE=BF\therefore BE=BF，∠BDC=∠BCD\angle BDC=\angle BCD，
∴∠AED=∠BCD\therefore \angle AED=\angle BCD.
∵∠AEB=180∘−∠AED\because \angle AEB=180^{\circ}-\angle AED，∠ADC=180∘−∠BCD\angle ADC=180^{\circ}-\angle BCD，
∴∠AEB=∠ADC\therefore \angle AEB=\angle ADC.
∵AE⋅AF=AD⋅BF\because AE\cdot AF=AD\cdot BF，
∴AEBF=ADAF\therefore \frac{AE}{BF}=\frac{AD}{AF}，
∵\because四边形AFCDAFCD是平行四边形，
∴AF=CD\therefore AF=CD，
∴AEBE=ADDC\therefore \frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DC}，
∴△ABE\therefore \triangle ABE∽△ADC.\triangle ADC.

解析

(1)(1)证明：∵OD2=OE⋅OB\because OD^{2}=OE\cdot OB，
∴OEOD=ODOB\therefore \frac{OE}{OD}=\frac{OD}{OB}，
∵AD\because AD∥BCBC，
∴△AOD\therefore \triangle AOD∽△COB\triangle COB，
∴OAOC=ODOB\therefore \frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}
∴OAOC=OEOD\therefore \frac{OA}{OC}=\frac{OE}{OD}
∴AF\therefore AF∥CDCD，
∴\therefore四边形AFCDAFCD是平行四边形；
(2)(2)证明：∵AF\because AF∥CDCD，
∴∠AED=∠BDC,△BEF\therefore \angle AED=\angle BDC,\triangle BEF∽△BDC\triangle BDC，
∴BEBD=BFBC\therefore \frac{BE}{BD}=\frac{BF}{BC}，
∵BC=BD\because BC=BD，
∴BE=BF\therefore BE=BF，∠BDC=∠BCD\angle BDC=\angle BCD，
∴∠AED=∠BCD\therefore \angle AED=\angle BCD.
∵∠AEB=180∘−∠AED\because \angle AEB=180^{\circ}-\angle AED，∠ADC=180∘−∠BCD\angle ADC=180^{\circ}-\angle BCD，
∴∠AEB=∠ADC\therefore \angle AEB=\angle ADC.
∵AE⋅AF=AD⋅BF\because AE\cdot AF=AD\cdot BF，
∴AEBF=ADAF\therefore \frac{AE}{BF}=\frac{AD}{AF}，
∵\because四边形AFCDAFCD是平行四边形，
∴AF=CD\therefore AF=CD，
∴AEBE=ADDC\therefore \frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DC}，
∴△ABE\therefore \triangle ABE∽△ADC.\triangle ADC.

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