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九年级数学解答题一般
题目
【基础巩固】
(1)(1)如图11,在△ABC\triangle ABC中,DD为ABAB上一点,∠ACD=∠B\angle ACD=\angle B.求证:AC2=AD⋅ABAC^{2}=AD\cdot AB.
【尝试应用】
(2)(2)如图22,在▱ABCDABCD中,EE为BCBC上一点,FF为CDCD延长线上一点,∠BFE=∠A\angle BFE=\angle A.若BF=3BF=3,BE=2BE=2,求ADAD的长.
【拓展提高】
(3)(3)如图33,在菱形ABCDABCD中,EE是ABAB上一点,FF是△ABC\triangle ABC内一点,EF,EF∥ACAC,AC=2EFAC=2EF,∠EDF=12∠BAD.AE=1\angle EDF=\frac{1}{2}\angle BAD.AE=1,DF=3DF=3,请直接写出菱形ABCDABCD的边长.
知识点：平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质章节：未标注

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵∠ACD=∠B\because \angle ACD=\angle B，∠A=∠A\angle A=\angle A，
∴△ADC\therefore \triangle ADC∽△ACB\triangle ACB，
∴ADAC=ACAB\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}，
∴AC2=AD⋅AB\therefore AC^{2}=AD\cdot AB；
(2)(2)∵\because四边形ABCDABCD是平行四边形，
∴AD=BC\therefore AD=BC，∠A=∠C\angle A=\angle C，
又∵∠BFE=∠A\because \angle BFE=\angle A，
∴∠BFE=∠C\therefore \angle BFE=\angle C，
又∵∠FBE=∠CBF\because \angle FBE=\angle CBF，
∴△BFE\therefore \triangle BFE∽△BCF\triangle BCF，
∴BFBC=BEBF\therefore \frac{BF}{BC}=\frac{BE}{BF}，
∴BF2=BE⋅BC\therefore BF^{2}=BE\cdot BC，
∴BC=BF2BE=92\therefore BC=\frac{B{F}^{2}}{BE}=\frac{9}{2}，
∴AD=92\therefore AD=\frac{9}{2}；
(3)(3)如图33，分别延长EFEF，DCDC相交于点GG，

∵\because四边形ABCDABCD是菱形，
∴AB\therefore AB∥DCDC，
∵AC\because AC∥EFEF，
∴\therefore四边形AEGCAEGC为平行四边形，
∴AC=EG\therefore AC=EG，CG=AE=1CG=AE=1，∠EAC=∠G\angle EAC=\angle G，
∵∠EDF=12∠BAD\because \angle EDF=\frac{1}{2}\angle BAD，
∴∠EDF=∠BAC\therefore \angle EDF=\angle BAC，
∴∠EDF=∠G\therefore \angle EDF=\angle G，
又∵∠DEF=∠GED\because \angle DEF=\angle GED，
∴△EDF\therefore \triangle EDF∽△EGD\triangle EGD，
∴EDEG=EFDE\therefore \frac{ED}{EG}=\frac{EF}{DE}，
∴DE2=EF⋅EG\therefore DE^{2}=EF\cdot EG，
又∵EG=AC=2EF\because EG=AC=2EF，
∴DE2=2EF2\therefore DE^{2}=2EF^{2}，
∴DE=2EF\therefore DE=\sqrt{2}EF，
又∵DGDF=DEEF\because \frac{DG}{DF}=\frac{DE}{EF}
∴DG=2DF=32\therefore DG=\sqrt{2}DF=3\sqrt{2}，
∴DC=DG−CG=32−1\therefore DC=DG-CG=3\sqrt{2}-1.
∴\therefore菱形ABCDABCD的边长为32−13\sqrt{2}-1.

解析

(1)(1)证明：∵∠ACD=∠B\because \angle ACD=\angle B，∠A=∠A\angle A=\angle A，
∴△ADC\therefore \triangle ADC∽△ACB\triangle ACB，
∴ADAC=ACAB\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}，
∴AC2=AD⋅AB\therefore AC^{2}=AD\cdot AB；
(2)(2)∵\because四边形ABCDABCD是平行四边形，
∴AD=BC\therefore AD=BC，∠A=∠C\angle A=\angle C，
又∵∠BFE=∠A\because \angle BFE=\angle A，
∴∠BFE=∠C\therefore \angle BFE=\angle C，
又∵∠FBE=∠CBF\because \angle FBE=\angle CBF，
∴△BFE\therefore \triangle BFE∽△BCF\triangle BCF，
∴BFBC=BEBF\therefore \frac{BF}{BC}=\frac{BE}{BF}，
∴BF2=BE⋅BC\therefore BF^{2}=BE\cdot BC，
∴BC=BF2BE=92\therefore BC=\frac{B{F}^{2}}{BE}=\frac{9}{2}，
∴AD=92\therefore AD=\frac{9}{2}；
(3)(3)如图33，分别延长EFEF，DCDC相交于点GG，

∵\because四边形ABCDABCD是菱形，
∴AB\therefore AB∥DCDC，
∵AC\because AC∥EFEF，
∴\therefore四边形AEGCAEGC为平行四边形，
∴AC=EG\therefore AC=EG，CG=AE=1CG=AE=1，∠EAC=∠G\angle EAC=\angle G，
∵∠EDF=12∠BAD\because \angle EDF=\frac{1}{2}\angle BAD，
∴∠EDF=∠BAC\therefore \angle EDF=\angle BAC，
∴∠EDF=∠G\therefore \angle EDF=\angle G，
又∵∠DEF=∠GED\because \angle DEF=\angle GED，
∴△EDF\therefore \triangle EDF∽△EGD\triangle EGD，
∴EDEG=EFDE\therefore \frac{ED}{EG}=\frac{EF}{DE}，
∴DE2=EF⋅EG\therefore DE^{2}=EF\cdot EG，
又∵EG=AC=2EF\because EG=AC=2EF，
∴DE2=2EF2\therefore DE^{2}=2EF^{2}，
∴DE=2EF\therefore DE=\sqrt{2}EF，
又∵DGDF=DEEF\because \frac{DG}{DF}=\frac{DE}{EF}
∴DG=2DF=32\therefore DG=\sqrt{2}DF=3\sqrt{2}，
∴DC=DG−CG=32−1\therefore DC=DG-CG=3\sqrt{2}-1.
∴\therefore菱形ABCDABCD的边长为32−13\sqrt{2}-1.

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