（1）设$1$辆$A$型车载满蔬菜一次可运送$a$吨，$1$辆$B$型车载满蔬菜一次可运送$b$吨，
依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=10}\\{a+2b=11}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=4}\end{array}\right.$.
答：$1$辆$A$型车载满蔬菜一次可运送$3$吨，$1$辆$B$型车载满蔬菜一次可运送$4$吨.
$(2)$依题意得：$3x+4y=31$，
$\therefore x=\frac{31-4y}{3}$.
又$\because x$，$y$均为正整数，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=7}\end{array}\right.$，
$\therefore$该物流公司共有$3$种租车方案，
方案$1$：租用$9$辆$A$型车，$1$辆$B$型车；
方案$2$：租用$5$辆$A$型车，$4$辆$B$型车；
方案$3$：租用$1$辆$A$型车，$7$辆$B$型车.
$(3)$方案$1$所需租车费为$100\times 9+120\times 1=1020(元)$；
方案$2$所需租车费为$100\times 5+120\times 4=980(元)$；
方案$3$所需租车费为$100\times 1+120\times 7=940(元)$。
$\because 1020 \gt 980 \gt 940$，
$\therefore$费用最少的租车方案为：租用$1$辆$A$型车，$7$辆$B$型车，最少租车费为$940$元.

（1）设$1$辆$A$型车载满蔬菜一次可运送$a$吨，$1$辆$B$型车载满蔬菜一次可运送$b$吨，
依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=10}\\{a+2b=11}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=4}\end{array}\right.$.
答：$1$辆$A$型车载满蔬菜一次可运送$3$吨，$1$辆$B$型车载满蔬菜一次可运送$4$吨.
$(2)$依题意得：$3x+4y=31$，
$\therefore x=\frac{31-4y}{3}$.
又$\because x$，$y$均为正整数，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=7}\end{array}\right.$，
$\therefore$该物流公司共有$3$种租车方案，
方案$1$：租用$9$辆$A$型车，$1$辆$B$型车；
方案$2$：租用$5$辆$A$型车，$4$辆$B$型车；
方案$3$：租用$1$辆$A$型车，$7$辆$B$型车.
$(3)$方案$1$所需租车费为$100\times 9+120\times 1=1020(元)$；
方案$2$所需租车费为$100\times 5+120\times 4=980(元)$；
方案$3$所需租车费为$100\times 1+120\times 7=940(元)$。
$\because 1020 \gt 980 \gt 940$，
$\therefore$费用最少的租车方案为：租用$1$辆$A$型车，$7$辆$B$型车，最少租车费为$940$元.