蔬菜大王小明牛年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售,若用$2$辆$A$型车和$1$辆$B$型车载满蔬菜一次可运走$10$吨,用$1$辆$A$型车和$2$辆$B$型车载满蔬菜一次可运走$11$吨.现有蔬菜$31$吨,计划同时租用$A$型车$x$辆,$B$型车$y$辆,一次运完,且恰好每辆车都载满蔬菜.根据以上信息,解答下列问题:
$(1)1$辆$A$型车和$1$辆$B$型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨?
$(2)$请你帮该物流公司设计租车方案；
$(3)$若$1$辆$A$型车需租金$100$元$/$次,$1$辆$B$型车需租金$120$元$/$次.请选出费用最少的租车方案,并求出最少租车费.