题目
如图,在四边形
ABCD中,
AB=CD,
∠ABC的平分线交
AD于点
E,延长
BE交
CD的延长线于
F,
BC=CF,连接
CE.
(1)求证:四边形
ABCD是平行四边形.
(2)若
AB=5,
BC=8,
CE⊥AD,求四边形
ABCD的面积.
知识点：平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质章节：未标注
答案与解析
答案
(1)证明：
∵BC=CF，
∴∠FBC=∠F，
∵BF是
∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠F，
∴AB∥CD，
又
∵AB=CD，
∴四边形
ABCD是平行四边形.
(2)∵BC=CF，
AB=CD=5，
BC=8，
∴DF=CF−CD=8−5=3，
∵AD∥BC，
∴∠EBC=∠FED=∠F，
∴ED=FD=3，
在
Rt△CDE中，由勾股定理得：
EC=CD2−ED2=52−32=4，
∴S▱ABCD=BC⋅CE=8×4=32.
解析
(1)证明：
∵BC=CF，
∴∠FBC=∠F，
∵BF是
∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠F，
∴AB∥CD，
又
∵AB=CD，
∴四边形
ABCD是平行四边形.
(2)∵BC=CF，
AB=CD=5，
BC=8，
∴DF=CF−CD=8−5=3，
∵AD∥BC，
∴∠EBC=∠FED=∠F，
∴ED=FD=3，
在
Rt△CDE中，由勾股定理得：
EC=CD2−ED2=52−32=4，
∴S▱ABCD=BC⋅CE=8×4=32.
