D

$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OA=OC$，$OB=OD$，故$A$正确，
当$AC\bot BD$时，四边形$ABCD$是菱形，故$B$正确，
当$AC=BD$时，四边形$ABCD$是矩形，故$C$正确，
故选：$D$.