D

（1）因水平面上物体的压力和自身的重力相等，
所以，用水平力向右推薄板使其运动$\frac{L}{4}$的过程中，薄板对桌面的压力$F$不变，故$C$不正确；
压力的大小为：
$F=G=mg=\rho Vg=\rho L^{2}dg$，
右端与桌子边缘相平时，受力面积$S_{1}=L^{2}$，
此时薄板对桌面的压强$p_{1}=\frac{F}{{S}_{1}}=\frac{ρ{L}^{2}dg}{{L}^{2}}=\rho dg$，
当用水平力向右推薄板使其运动$\frac{L}{4}$时，受力面积$S_{2}=L\times (L-\frac{L}{4})=\frac{3{L}^{2}}{4}$，
此时薄板对桌面的压强$p_{2}=\frac{F}{{S}_{2}}=\frac{ρ{L}^{2}dg}{\frac{3}{4}{L}^{2}}=\frac{4}{3}\rho dg$，
所以，$p$大小由$\rho dg$增大为$\frac{4}{3}\rho dg$，故$A$不正确；
$(2)$因摩擦力的大小只与接触面的粗糙程度和压力的大小有关，
所以，在用水平力向右推薄板使其运动$\frac{L}{4}$的过程中，接触面的粗糙程度和压力不变，摩擦力的大小不变，故$B$不正确，$D$正确。
故选：$D$。