C

$\because$圆的面积与它的半径平方的比是$\pi$，是定值，
$\therefore$圆的面积与它的半径的平方成正比例，
$\therefore A$选项不符合题意；
$\because$正方形的周长与它的边长的比是$4$，是定值，
$\therefore$正方形的周长与它的边长是成正比例关系，
$\therefore B$选项不符合题意；
$\because$路程一定，速度与时间的乘积就是路程，是定值，
$\therefore$路程一定，速度与时间是成反比例关系，
$\therefore C$选项符合题意；
$\because$利率一定，存款的利息与本金的比就是利率，是定值，
$\therefore$利率一定，存款的本金与利息是一次函数关系，
$\therefore D$选项不符合题意.
故选：$C$.