过点$C$作$x$轴的垂线，垂足为$M$，

$\because \angle BAC=90^{\circ}$，

$\therefore \angle BAO+\angle CAM=90^{\circ}$，

$\because$将线段$AB$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段$AC$，

$\angle BOA=\angle CMA=90^{\circ}$，$AB=AC$，

$\therefore \angle BAO+\angle OBA=90^{\circ}$，

$\therefore \angle CAM=\angle OBA$，

$\therefore \triangle AOB$≌$\triangle CMA\left(AAS\right)$，

$\therefore CM=OA$，$AM=BO$，

又$\because A\left(3,0\right)$，$B\left(0,4\right)$，

$\therefore CM=OA=3$，$AM=BO=4$，

$\therefore OM=7$，$CM=3$.

在$Rt\triangle COM$中，$OC=\sqrt{O{M}^{2}+C{M}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{7}^{2}}=\sqrt{58}$.

故答案为：$\sqrt{58}$.

过点$C$作$x$轴的垂线，垂足为$M$，

$\because \angle BAC=90^{\circ}$，

$\therefore \angle BAO+\angle CAM=90^{\circ}$，

$\because$将线段$AB$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段$AC$，

$\angle BOA=\angle CMA=90^{\circ}$，$AB=AC$，

$\therefore \angle BAO+\angle OBA=90^{\circ}$，

$\therefore \angle CAM=\angle OBA$，

$\therefore \triangle AOB$≌$\triangle CMA\left(AAS\right)$，

$\therefore CM=OA$，$AM=BO$，

又$\because A\left(3,0\right)$，$B\left(0,4\right)$，

$\therefore CM=OA=3$，$AM=BO=4$，

$\therefore OM=7$，$CM=3$.

在$Rt\triangle COM$中，$OC=\sqrt{O{M}^{2}+C{M}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{7}^{2}}=\sqrt{58}$.

故答案为：$\sqrt{58}$.