九年级数学填空题一元一次不等式组的整数解、由实际问题抽象出一元一次不等式组｜试题答案与解析

九年级数学填空题一般

题目

对于一个四位正整数

A=abcd

,若它的各位上数字均不为零且互不相等,千位数字与个位数字之和为

9

,十位数字比百位数字大

2

,则称这个四位正整数

A

是"优胜数".则符合条件的

A

的最大数与最小数的差为______

.Q\left(A\right)=a+b+c+d,R\left(A\right)=|a-2|

,若

\frac{Q(A)}{R(A)}

能被

7

整除,则所有满足条件的四位正整数

A

的和为______.

知识点：一元一次不等式组的整数解、由实际问题抽象出一元一次不等式组章节：未标注

答案与解析

答案

$\because$ 四位正整数 $A=abcd$ 是“优胜数”，

$\therefore a+d=9$ ， $c-b=2$ ，

$\therefore a=9-d.c=b+2$ ，

$\because 1\leqslant a\leqslant 9$ ， $1\leqslant c\leqslant 9$ ，

$\therefore 3\leqslant b+2\leqslant 9.1\leqslant d\leqslant 8$ ， $1\leqslant a\leqslant 8$ ，

$\therefore 1\leqslant b\leqslant 7$ ， $1\leqslant d\leqslant 8$ ，

可得到 $A$ 为： $1000\left(9-d\right)+100b+10\left(b+2\right)+d=110b-999d+9020$ ，

当 $b=7$ ， $d=1$ 时， $A$ 的最大数为 $110b-999d+9020=8791$ ，

当 $b=1.d=8$ 时， $A$ 的最小数为 $1106-999d+9020=1138$ ，

$\therefore$ 最大值与最小值的差为 $8791-1138=7653$ ；

$Q\left(A\right)=a+b+c+d=9-d+b+b+2+d=11+2b$ ， $R\left(A\right)=|a-2|=|7-d|$ ，

$\because 1\leqslant b\leqslant 7$ ， $1\leqslant d\leqslant 8$ ，

$\therefore 13\leqslant 11+2b\leqslant 25$ ， $-1\leqslant 7-d\leqslant 6$ ，

$\therefore 13\leqslant Q\left(A\right)\leqslant 25$ ， $0\leqslant R\left(A\right)\leqslant 6$ ，

$\because \frac{Q(A)}{R(A)}$ 能被 $7$ 整除，

$\therefore Q\left(A\right)=11+2b=21$ ，则 $R\left(A\right)=|a-2|=1$ 或 $R\left(A\right)=|a-2|=2$ 或 $R\left(A\right)=|a-2|=3$ ，

解得 $a=1$ ， $b=6$ ， $c=8$ ， $d=8$ ，（舍掉）

或 $a=3$ ， $b=6$ ， $c=8$ ， $d=6$ ，（舍掉）

或 $a=4$ ， $b=6$ ， $c=8$ ， $d=5$ ，

或 $a=5$ ， $b=6$ ， $c=8$ ， $d=4$ ，

所有满足条件的四位正整数为： $4685$ ， $5684$ ，

所有满足条件的四位正整数 $4$ 的和为 $4685+5684=10369$ ，

故答案为： $7653$ ，10369

解析