$(1)$证明：令$y=0$，则$ax^{2}+\left(1-a\right)x-1=0$，
$\because \Delta =\left(1-a\right)^{2}-4a\times \left(-1\right)=\left(1+a\right)^{2}\geqslant 0$，
$\therefore$该函数的图象与$x$轴总有公共点；
$(2)$由方程$ax^{2}+\left(1-a\right)x-1=0$解得，
$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac{1}{a}$，
$\therefore A\left(1,0\right)$，$B(-\frac{1}{a}$，$0)$，
$\therefore AB=|1+\frac{1}{a}|$，
$\because a \lt -2$，
$\therefore \frac{1}{2} \lt AB \lt 1$；
$(3)$如图，
$\because x=1$时，$y=ax^{2}+\left(1-a\right)x-1=0$，$x=0$时，$y=-1$，
$\therefore$抛物线一定过点$\left(1,0\right)$，$\left(0,-1\right)$，
$\because$当$0\leqslant x\leqslant 1$时，$y\leqslant 0$，
$\therefore$函数$y=ax^{2}+\left(1-a\right)x-1(a$为常数，且$a\neq 0)$的图象开口向上时满足题意，则$a \gt 0$，
函数$y=ax^{2}+\left(1-a\right)x-1(a$为常数，且$a\neq 0)$的图象开口向下时，$-\frac{1-a}{2a}≥1$，解得$-1\leqslant a \lt 0$，
$\therefore$当$0\leqslant x\leqslant 1$时，$y\leqslant 0$，则$a$的取值范围是$a \gt 0$或$-1\leqslant a \lt 0$.

$(1)$证明：令$y=0$，则$ax^{2}+\left(1-a\right)x-1=0$，
$\because \Delta =\left(1-a\right)^{2}-4a\times \left(-1\right)=\left(1+a\right)^{2}\geqslant 0$，
$\therefore$该函数的图象与$x$轴总有公共点；
$(2)$由方程$ax^{2}+\left(1-a\right)x-1=0$解得，
$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac{1}{a}$，
$\therefore A\left(1,0\right)$，$B(-\frac{1}{a}$，$0)$，
$\therefore AB=|1+\frac{1}{a}|$，
$\because a \lt -2$，
$\therefore \frac{1}{2} \lt AB \lt 1$；
$(3)$如图，
$\because x=1$时，$y=ax^{2}+\left(1-a\right)x-1=0$，$x=0$时，$y=-1$，
$\therefore$抛物线一定过点$\left(1,0\right)$，$\left(0,-1\right)$，
$\because$当$0\leqslant x\leqslant 1$时，$y\leqslant 0$，
$\therefore$函数$y=ax^{2}+\left(1-a\right)x-1(a$为常数，且$a\neq 0)$的图象开口向上时满足题意，则$a \gt 0$，
函数$y=ax^{2}+\left(1-a\right)x-1(a$为常数，且$a\neq 0)$的图象开口向下时，$-\frac{1-a}{2a}≥1$，解得$-1\leqslant a \lt 0$，
$\therefore$当$0\leqslant x\leqslant 1$时，$y\leqslant 0$，则$a$的取值范围是$a \gt 0$或$-1\leqslant a \lt 0$.