$\left(1\right)\because E$、$F$分别是$BC$、$AC$的中点，
$\therefore EF$是$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore EF$∥$AB$且$EF=\frac{1}{2}AB$.
又$AB=2AD$，即$AD=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore AD$∥$EF$，$AD=EF$，
$\therefore$四边形$AEFD$是平行四边形，
$\therefore AF$与$DE$互相平分；

$(2)\because$在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ}$，$AB=8$，$BC=12$，
$\therefore$由勾股定理得$AC=\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{1{2}^{2}-{8}^{2}}=4\sqrt{5}$
又由（1）知，$OA=OF$，且$AF=CF$，
$\therefore OA=\frac{1}{4}AC=\sqrt{5}$.
$\therefore$在$\triangle AOD$中，$\angle DAO=90^{\circ}$，$AD=\frac{1}{2}AB=4$，$OA=\sqrt{5}$，
$\therefore$由勾股定理得$DO=\sqrt{D{A}^{2}+O{A}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{21}$.

$\left(1\right)\because E$、$F$分别是$BC$、$AC$的中点，
$\therefore EF$是$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore EF$∥$AB$且$EF=\frac{1}{2}AB$.
又$AB=2AD$，即$AD=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore AD$∥$EF$，$AD=EF$，
$\therefore$四边形$AEFD$是平行四边形，
$\therefore AF$与$DE$互相平分；

$(2)\because$在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ}$，$AB=8$，$BC=12$，
$\therefore$由勾股定理得$AC=\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{1{2}^{2}-{8}^{2}}=4\sqrt{5}$
又由（1）知，$OA=OF$，且$AF=CF$，
$\therefore OA=\frac{1}{4}AC=\sqrt{5}$.
$\therefore$在$\triangle AOD$中，$\angle DAO=90^{\circ}$，$AD=\frac{1}{2}AB=4$，$OA=\sqrt{5}$，
$\therefore$由勾股定理得$DO=\sqrt{D{A}^{2}+O{A}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{21}$.