设$x^{2}+y^{2}=m$，
则原方程变形为：$m\left(m-1\right)=12$，
整理，得$m^{2}-m-12=0$，
$\therefore \left(m-4\right)\left(m+3\right)=0$，
解得：$m=4$或$m=-3$，
$\because x^{2}+y^{2} \gt 0$，
$\therefore m=4$，
$\therefore x^{2}+y^{2}=4$.
故答案为：$4$.

设$x^{2}+y^{2}=m$，
则原方程变形为：$m\left(m-1\right)=12$，
整理，得$m^{2}-m-12=0$，
$\therefore \left(m-4\right)\left(m+3\right)=0$，
解得：$m=4$或$m=-3$，
$\because x^{2}+y^{2} \gt 0$，
$\therefore m=4$，
$\therefore x^{2}+y^{2}=4$.
故答案为：$4$.