已知一次函数$y_{1}=kx+b\left(k\neq 0\right)$和二次函数$y_2=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分自变量和对应的函数值如表:

$x$	$\ldots$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$\ldots$
$y_{1}$	$\ldots$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ldots$
$y_{2}$	$\ldots$	$0$	$-1$	$0$	$3$	$8$	$\ldots$

$(1)$二次函数的表达式为______；
$(2)$关于$x$的不等式$ax^{2}+bx+c \lt kx+b$的解集是______.