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八年级数学填空题一般
题目
【项目主题】监控器如何布设才最优
【项目背景】监控器有效监测距离500m500m,最大旋转角度9090^{\circ};村落、河流如图11所示,河流南岸长5000m5000m;监控布设线ll距离河流300m300m,ll上任意两个监控(M1(M_{1}M2M_{2})\ldots )之间的距离相等.
【项目方案】
(1)(1)方案11:如图11所示,从河流南岸边缘AA点处起,使AM1=500mAM_{1}=500m,BM1ABBM_{1}\bot AB,即ABAB为监控器M1M_{1}监测范围;以此类推继续设置监控器,至少需要布设多少监控器?
(2)(2)方案22:如图22所示,ABAB为监控器M1M_{1}监测范围,BCBC为监控器M2M_{2}监测范围.AM1BM1AM_{1}\bot BM_{1},BM2CM2BM_{2}\bot CM_{2},此时BM1=CM2=375mBM_{1}=CM_{2}=375m,至少需要布设多少监控器?
(3)(3)【项目总结】我认为方案______是最优化方案.
知识点:解直角三角形的应用——方向章节:未标注

答案与解析

答案

(1)在RtABM1Rt\triangle ABM_{1}中,BM1=300mBM_{1}=300mAM1=500mAM_{1}=500m
AB=AM12BM12=400(m)\therefore AB=\sqrt{A{{M}_{1}}^{2}-B{{M}_{1}}^{2}}=400\left(m\right)
\because村落与河流邻接长度5000m5000m5000400=12.5\frac{5000}{400}=12.5
\therefore该水利部门至少需要布设1313个监控器;
答:该水利部门至少需要布设1313个监控器;
(2)(2)如图所示,过点M1M_{1}M1NABM_{1}N\bot AB于点NN,依题意MN=300mMN=300m

RtM1NBRt\triangle M_{1}NB中,BM1=375mBM_{1}=375m
BN=M1B2+M1N2=37523002=225(m)\therefore BN=\sqrt{{M}_{1}{B}^{2}+{M}_{1}{N}^{2}}=\sqrt{37{5}^{2}-30{0}^{2}}=225\left(m\right)
AN=xAN=x,则AB=AN+BN=225+xAB=AN+BN=225+x
RtAM1NRt\triangle AM_{1}N中,AM12=AN2+M1N2=x2+3002{AM}_{1}^{2}=AN^{2}+M_{1}N^{2}=x^{2}+300^{2}
RtABM1Rt\triangle ABM_{1}中,AM12=AB2BM12=(225+x)23752{AM}_{1}^{2}=AB^{2}-{BM}_{1}^{2}=\left(225+x\right)^{2}-375^{2}
x2+3002=(225+x)23752\therefore x^{2}+300^{2}=\left(225+x\right)^{2}-375^{2}
解得:x=400x=400
AN=400m\therefore AN=400m
RtAM1NRt\triangle AM_{1}N中,AM1=AN2+NM12=500(m)AM_{1}=\sqrt{A{N}^{2}+N{{M}_{1}}^{2}}=500\left(m\right)
\because监控器有效监测距离500m500m
\therefore符合题意,
AB=AN+NB=400+225=625\therefore AB=AN+NB=400+225=625
\because村落与河流邻接长度5000m5000m5000625=8\frac{5000}{625}=8
\therefore该水利部门至少需要布设88个监控器;
(3)(3)我认为方案二是最优化方案,原因是监控器M1M_{1}监测范围ABAB的距离最大,则水利部门布设监控器个数少.
故答案为:二.

解析

(1)在RtABM1Rt\triangle ABM_{1}中,BM1=300mBM_{1}=300mAM1=500mAM_{1}=500m
AB=AM12BM12=400(m)\therefore AB=\sqrt{A{{M}_{1}}^{2}-B{{M}_{1}}^{2}}=400\left(m\right)
\because村落与河流邻接长度5000m5000m5000400=12.5\frac{5000}{400}=12.5
\therefore该水利部门至少需要布设1313个监控器;
答:该水利部门至少需要布设1313个监控器;
(2)(2)如图所示,过点M1M_{1}M1NABM_{1}N\bot AB于点NN,依题意MN=300mMN=300m

RtM1NBRt\triangle M_{1}NB中,BM1=375mBM_{1}=375m
BN=M1B2+M1N2=37523002=225(m)\therefore BN=\sqrt{{M}_{1}{B}^{2}+{M}_{1}{N}^{2}}=\sqrt{37{5}^{2}-30{0}^{2}}=225\left(m\right)
AN=xAN=x,则AB=AN+BN=225+xAB=AN+BN=225+x
RtAM1NRt\triangle AM_{1}N中,AM12=AN2+M1N2=x2+3002{AM}_{1}^{2}=AN^{2}+M_{1}N^{2}=x^{2}+300^{2}
RtABM1Rt\triangle ABM_{1}中,AM12=AB2BM12=(225+x)23752{AM}_{1}^{2}=AB^{2}-{BM}_{1}^{2}=\left(225+x\right)^{2}-375^{2}
x2+3002=(225+x)23752\therefore x^{2}+300^{2}=\left(225+x\right)^{2}-375^{2}
解得:x=400x=400
AN=400m\therefore AN=400m
RtAM1NRt\triangle AM_{1}N中,AM1=AN2+NM12=500(m)AM_{1}=\sqrt{A{N}^{2}+N{{M}_{1}}^{2}}=500\left(m\right)
\because监控器有效监测距离500m500m
\therefore符合题意,
AB=AN+NB=400+225=625\therefore AB=AN+NB=400+225=625
\because村落与河流邻接长度5000m5000m5000625=8\frac{5000}{625}=8
\therefore该水利部门至少需要布设88个监控器;
(3)(3)我认为方案二是最优化方案,原因是监控器M1M_{1}监测范围ABAB的距离最大,则水利部门布设监控器个数少.
故答案为:二.

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