B

$A$.丝绸摩擦过的玻璃棒带正电，丝绸与玻璃棒摩擦时，丝绸得到电子带负电，玻璃棒失去电子带正电，故$A$错误；
$B$.用丝绸摩擦过的玻璃棒接触$A$，$A$带正电，当金属棒把$A$、$B$两验电器连起来时，$B$验电器也带正电，$B$验电器失去电子，故$B$正确；
$C$.当金属棒把$A$、$B$两验电器连起来时，$B$验电器失去电子，$A$验电器得到电子，电子的移动方向是从$B$到$A$，瞬间电流方向从验电器$A$到验电器$B$，不是持续电流，故$C$错误；
$D$.当玻璃棒接触$A$验电器的金属球时，$A$验电器带正电，$A$验电器失去电子，所以电子从$A$验电器转移到玻璃棒，故$D$错误。
故选：$B$。