A

$A$、$m$与$n$的$2$倍的和是$m+2n$，正确，故此选项符合题意；
$B$、$a$与$b$的差的倒数是$\frac{1}{a-b}$，故此选项不符合题意；
$C$、$a$与$b$两数的平方差是$a^{2}-b^{2}$，故此选项不符合题意；
$D$、若$a$的平方比甲数小$2$，则甲数是$a^{2}+2$，故此选项不符合题意；
故选：$A$.