①根据截去一个角后，所得的几何体的形状可得，
一个正方体，用刀截去一个角后，所得的几何体有$7$或$8$或$9$或$10$个顶点，
故答案为：$7$或$8$或$9$或$10$；
②图（1）是正方形$6$个面的面积和为$6a^{2}$，
图（2）是$2$个正方形的组合体，其表面积为$6a^{2}\times 2-a^{2}\times 2\times 1=10a^{2}$，
图（3）是$3$个正方形的组合体，其表面积为$6a^{2}\times 3-a^{2}\times 2\times 2=14a^{2}$，
$\ldots$
图（4）是$51$个正方形的组合体，其表面积为$6a^{2}\times 51-a^{2}\times 2\times 50=206a^{2}$，
故答案为：$6a^{2}$，$10a^{2}$，$14a^{2}$，$206a^{2}$；
③由所提供等式所呈现的规律可得，
$1+2+3+\ldots +99+100+99+\ldots +3+2+1=100^{2}=10000$，
故答案为：$10000$.

①根据截去一个角后，所得的几何体的形状可得，
一个正方体，用刀截去一个角后，所得的几何体有$7$或$8$或$9$或$10$个顶点，
故答案为：$7$或$8$或$9$或$10$；
②图（1）是正方形$6$个面的面积和为$6a^{2}$，
图（2）是$2$个正方形的组合体，其表面积为$6a^{2}\times 2-a^{2}\times 2\times 1=10a^{2}$，
图（3）是$3$个正方形的组合体，其表面积为$6a^{2}\times 3-a^{2}\times 2\times 2=14a^{2}$，
$\ldots$
图（4）是$51$个正方形的组合体，其表面积为$6a^{2}\times 51-a^{2}\times 2\times 50=206a^{2}$，
故答案为：$6a^{2}$，$10a^{2}$，$14a^{2}$，$206a^{2}$；
③由所提供等式所呈现的规律可得，
$1+2+3+\ldots +99+100+99+\ldots +3+2+1=100^{2}=10000$，
故答案为：$10000$.