$2x+3y=16$，即$x=8-\dfrac{3}{2}y$；

由于$x \gt 0$，所以$8-\dfrac{3}{2}y \gt 0$，即$0 \lt y \lt \dfrac{16}{3}$；

已知$y$是正整数，则$y$可取$1$、$2$、$3$、$4$；

而$x$也是正整数，因此$y$只取$2$的倍数，

当$y=2$时，$x=8-3=5$；

当$y=4$时，$x=8-6=2$；

故该二元一次方程的正整数解为：$\left\{\begin{array}{l}x=5\\y=2\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}x=2\\y=4\end{array}\right.$.

$2x+3y=16$，即$x=8-\dfrac{3}{2}y$；

由于$x \gt 0$，所以$8-\dfrac{3}{2}y \gt 0$，即$0 \lt y \lt \dfrac{16}{3}$；

已知$y$是正整数，则$y$可取$1$、$2$、$3$、$4$；

而$x$也是正整数，因此$y$只取$2$的倍数，

当$y=2$时，$x=8-3=5$；

当$y=4$时，$x=8-6=2$；

故该二元一次方程的正整数解为：$\left\{\begin{array}{l}x=5\\y=2\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}x=2\\y=4\end{array}\right.$.