（1）灯丝没有烧断时，电压表测量的是灯泡两端的电压，当灯丝烧断后，电压表与滑动变阻器、开关、电流表、电源组成通路，电压表测量的是电源电压，所以电压表示数变大；
$(2)$由表格可知：当灯泡两端电压增大时，灯丝的电阻也增大，因此不能求平均值，其原因是灯丝的电阻随温度升高而增大；
$(3)$当电压为$0$时，电路中有较大的电流；当电压增大时，电流反而减小；根据电阻一定时，通过导体的电流跟导体两端的电压成正比可知，电压表不是测量灯泡两端的电压，根据灯泡与滑动变阻器串联，可知电压表测量的是滑动变阻器两端的电压；
故答案为：（1）变大；$\left(2\right)$不同意；灯丝的电阻随温度升高而增大；$\left(3\right)$电压表并联在滑动变阻器两端。

（1）灯丝没有烧断时，电压表测量的是灯泡两端的电压，当灯丝烧断后，电压表与滑动变阻器、开关、电流表、电源组成通路，电压表测量的是电源电压，所以电压表示数变大；
$(2)$由表格可知：当灯泡两端电压增大时，灯丝的电阻也增大，因此不能求平均值，其原因是灯丝的电阻随温度升高而增大；
$(3)$当电压为$0$时，电路中有较大的电流；当电压增大时，电流反而减小；根据电阻一定时，通过导体的电流跟导体两端的电压成正比可知，电压表不是测量灯泡两端的电压，根据灯泡与滑动变阻器串联，可知电压表测量的是滑动变阻器两端的电压；
故答案为：（1）变大；$\left(2\right)$不同意；灯丝的电阻随温度升高而增大；$\left(3\right)$电压表并联在滑动变阻器两端。