任务$1$，设$A$款奶茶的销售单价是$x$元，$B$款奶茶的销售单价是$y$元，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{10x+5y=160}\\{15x+10y=270}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=12}\end{array}\right.$，
答：$A$款奶茶的销售单价是$10$元，$B$款奶茶的销售单价是$12$元；
任务$2$，设购买$A$种款式的奶茶$m$杯，购买$B$种款式的奶茶$n$杯，
由题意得：$10m+12n=220$，
整理得：$m=22-\frac{6}{5}n$，
$\because m$、$n$均为正整数，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{m=16}\\{n=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=10}\\{n=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=15}\end{array}\right.$，
$\therefore$有$3$种购买方案；
任务$3$：设小华购买的奶茶中，$A$款不加料的奶茶买了$a$杯，$A$款加料的奶茶和$B$款不加料的奶茶买了$b$杯，
则$B$款加料的奶茶买了$\left(3a-a-b\right)$杯，即$\left(2a-b\right)$杯，
由题意得：$10a+12b+\left(12+2\right)\left(2a-b\right)=380$，
整理得：$b=19a-190$，
$\because a$、$b$、$3a-a-b$均为正整数，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{a=11}\\{b=19}\end{array}\right.$，
$\therefore 2a-b=2\times 11-19=3$，
答：$B$款加料的奶茶买了$3$杯.

任务$1$，设$A$款奶茶的销售单价是$x$元，$B$款奶茶的销售单价是$y$元，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{10x+5y=160}\\{15x+10y=270}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=12}\end{array}\right.$，
答：$A$款奶茶的销售单价是$10$元，$B$款奶茶的销售单价是$12$元；
任务$2$，设购买$A$种款式的奶茶$m$杯，购买$B$种款式的奶茶$n$杯，
由题意得：$10m+12n=220$，
整理得：$m=22-\frac{6}{5}n$，
$\because m$、$n$均为正整数，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{m=16}\\{n=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=10}\\{n=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=15}\end{array}\right.$，
$\therefore$有$3$种购买方案；
任务$3$：设小华购买的奶茶中，$A$款不加料的奶茶买了$a$杯，$A$款加料的奶茶和$B$款不加料的奶茶买了$b$杯，
则$B$款加料的奶茶买了$\left(3a-a-b\right)$杯，即$\left(2a-b\right)$杯，
由题意得：$10a+12b+\left(12+2\right)\left(2a-b\right)=380$，
整理得：$b=19a-190$，
$\because a$、$b$、$3a-a-b$均为正整数，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{a=11}\\{b=19}\end{array}\right.$，
$\therefore 2a-b=2\times 11-19=3$，
答：$B$款加料的奶茶买了$3$杯.