D

$\because$一次函数的图象从左往右是上升的，且与$y$轴的交点在$x$轴上方，
$\therefore -\frac{a}{b} \gt 0$，$c \gt 0$，
$\therefore$在二次函数中，$c \gt 0$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a} \gt 0$.
$\therefore$二次函数的图象与$y$轴的交点在$x$轴的上方，对称轴在$y$轴的右侧，
故选：$D$.