D

$\because |m|=6$，$|n|=2$，
$\therefore m=\pm 6$，$n=\pm 2$，
$\because |m-n|=n-m$，
$\therefore m-n\leqslant 0$，
$\therefore m\leqslant n$，
$\therefore m=-6$，$n=2$或$m=-6$，$n=-2$，
当$m=-6$，$n=2$时，$m+n=-6+2=-4$；
当$m=-6$，$n=-2$时，$m+n=-6-2=-8$；
综上，$m+n$的值为$-4$或$-8$，
故选：$D$.