A

根据题意可知，只有关上洗衣机的筒门，按启动开关洗衣机才能工作，打开筒门时按启动开关洗衣机不能工作，即开关$S_{1}$和控制开关$S_{2}$必须同时闭合时，洗衣机才能工作，这表明这两个开关串联在电路中，共同控制电动机，故$A$符合题意。
故选：$A$。