（1）对于一次函数$y=-\frac{1}{2}x+2$.
令$x=0$，得$y=2$，令$y=0$，得$x=4$，
$\therefore A\left(0,2\right)$，$C\left(4,0\right)$；
$(2)$将$A\left(0,2\right)$，$C\left(4,0\right)$代入$y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+mx+n$得：
$\left\{\begin{array}{l}2=n\\ 0=-\frac{1}{4}×{4}^{2}+4m+n\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\\ n=2\end{array}\right.$，
$\therefore y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2$；
$(3)$方法一：由（2）可得抛物线对称轴为直线$x=1$，
$\therefore B\left(-2,0\right)$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times 2\times 6=6$，
如图$1$，过点$M$作直线$l$∥$y$轴交直线$AC$于点$N$，

设$M(a，-\frac{1}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}a+2)$则$N(a，-\frac{1}{2}a+2)$，
$\therefore MN=-\frac{1}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}a+2-(-\frac{1}{2}a+2)=-\frac{1}{4}{a}^{2}+a$，
$\therefore {S}_{四边形ABCM}=6+\frac{1}{2}×(-\frac{1}{4}{a}^{2}+a)×4=-\frac{1}{2}(a-2)^{2}+8$，
$\because 0 \lt a \lt 4$，
$\therefore$当$a=2$时，四边形$ABCN$最大值为$8$且$M\left(2,2\right)$；
方法二：由（1）知：$y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2$，
$\therefore$抛物线的对称轴是直线$x=1$，
$\because C\left(4,0\right)$，$\therefore B\left(-2,0\right)$，
如图$2$，连接$OM$，设$M(a，-\frac{1}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}a+2)$，

$\therefore S_{四边形ABCM}=S_{\triangle ABO}+S_{\triangle AOM}+S_{\triangle COM}$
$=\frac{1}{2}\times 2\times 2+\frac{1}{2}\times 2a+\frac{1}{2}\times 4(-\frac{1}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}a+2)$
$=-\frac{1}{2}{a}^{2}+2a+6$
$=-\frac{1}{2}(a-2)^{2}+8$，
$\therefore$当$a=2$时，四边形$ABCM$的面积有最大值，最大值为$8$，此时$M\left(2,2\right)$.

（1）对于一次函数$y=-\frac{1}{2}x+2$.
令$x=0$，得$y=2$，令$y=0$，得$x=4$，
$\therefore A\left(0,2\right)$，$C\left(4,0\right)$；
$(2)$将$A\left(0,2\right)$，$C\left(4,0\right)$代入$y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+mx+n$得：
$\left\{\begin{array}{l}2=n\\ 0=-\frac{1}{4}×{4}^{2}+4m+n\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\\ n=2\end{array}\right.$，
$\therefore y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2$；
$(3)$方法一：由（2）可得抛物线对称轴为直线$x=1$，
$\therefore B\left(-2,0\right)$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times 2\times 6=6$，
如图$1$，过点$M$作直线$l$∥$y$轴交直线$AC$于点$N$，

设$M(a，-\frac{1}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}a+2)$则$N(a，-\frac{1}{2}a+2)$，
$\therefore MN=-\frac{1}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}a+2-(-\frac{1}{2}a+2)=-\frac{1}{4}{a}^{2}+a$，
$\therefore {S}_{四边形ABCM}=6+\frac{1}{2}×(-\frac{1}{4}{a}^{2}+a)×4=-\frac{1}{2}(a-2)^{2}+8$，
$\because 0 \lt a \lt 4$，
$\therefore$当$a=2$时，四边形$ABCN$最大值为$8$且$M\left(2,2\right)$；
方法二：由（1）知：$y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2$，
$\therefore$抛物线的对称轴是直线$x=1$，
$\because C\left(4,0\right)$，$\therefore B\left(-2,0\right)$，
如图$2$，连接$OM$，设$M(a，-\frac{1}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}a+2)$，

$\therefore S_{四边形ABCM}=S_{\triangle ABO}+S_{\triangle AOM}+S_{\triangle COM}$
$=\frac{1}{2}\times 2\times 2+\frac{1}{2}\times 2a+\frac{1}{2}\times 4(-\frac{1}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}a+2)$
$=-\frac{1}{2}{a}^{2}+2a+6$
$=-\frac{1}{2}(a-2)^{2}+8$，
$\therefore$当$a=2$时，四边形$ABCM$的面积有最大值，最大值为$8$，此时$M\left(2,2\right)$.