（1）不等式$B$对于不等式组$A$中点包含，判断过程如下：
解不等式组$A$：$\left\{\begin{array}{l}{2x-3＞5}\\{6-x＞0}\end{array}\right.$，得$4 \lt x \lt 6$，
$\therefore A$的中点值为$x=5$，
$\because x=5$在$-1 \lt x\leqslant 5$范围内，
$\therefore$不等式$B$对于不等式组$A$中点包含；
$(2)\because D$对于不等式组$C$中点包含，
$\therefore$不等式组$C$和不等式组$D$有解，
解不等式组$C$：$\left\{\begin{array}{l}{2x+7＞2m+1}\\{3x-16＜9m-1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＞m-3}\\{x＜3m+5}\end{array}\right.$，
不等式组$D$：$\left\{\begin{array}{l}{x＞m-4}\\{3x-13＜5m}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＞m-4}\\{x＜\frac{5m+13}{3}}\end{array}\right.$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{m-3＜3m+5}\\{m-4＜\frac{5m+13}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$m \gt -4$，
$\therefore$当$m \gt -4$时，不等式组$C$的解集为$m-3 \lt x \lt 3m+5$，不等式组$D$的解集为$m-4 \lt x \lt \frac{5m+13}{3}$，
$\therefore C$的中点值为$\frac{m-3+3m+5}{2}=2m+1$，
$\because D$对于不等式组$C$中点包含，
$\therefore m-4 \lt 2m+1 \lt \frac{5m+13}{3}$，
解得：$-5 \lt m \lt 10$，
又$\because m \gt -4$，
$\therefore -4 \lt m \lt 10$.
$(3)$解不等式组$E$得，$2n \lt x \lt 2m$，解不等式组$F$得，$\frac{3n+m}{2}＜x＜6+n$，
$\therefore E$的中点值为$n+m$，
$\because$不等式组$F$对于不等式组$E$中点包含，
$\therefore \frac{3n+m}{2}＜n+m＜6+n$，
解得：$n \lt m \lt 6$，
$\because$所有符合要求的整数$m$之和为$14$，
$\therefore$整数$m$可取$2$，$3$、$4$，$5$，或整数$m$可取$-1$、$0$、$1$、$2$、$3$、$4$，$5$.
$\therefore 1\leqslant n \lt 2$或$-2\leqslant n \lt -1$.

（1）不等式$B$对于不等式组$A$中点包含，判断过程如下：
解不等式组$A$：$\left\{\begin{array}{l}{2x-3＞5}\\{6-x＞0}\end{array}\right.$，得$4 \lt x \lt 6$，
$\therefore A$的中点值为$x=5$，
$\because x=5$在$-1 \lt x\leqslant 5$范围内，
$\therefore$不等式$B$对于不等式组$A$中点包含；
$(2)\because D$对于不等式组$C$中点包含，
$\therefore$不等式组$C$和不等式组$D$有解，
解不等式组$C$：$\left\{\begin{array}{l}{2x+7＞2m+1}\\{3x-16＜9m-1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＞m-3}\\{x＜3m+5}\end{array}\right.$，
不等式组$D$：$\left\{\begin{array}{l}{x＞m-4}\\{3x-13＜5m}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＞m-4}\\{x＜\frac{5m+13}{3}}\end{array}\right.$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{m-3＜3m+5}\\{m-4＜\frac{5m+13}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$m \gt -4$，
$\therefore$当$m \gt -4$时，不等式组$C$的解集为$m-3 \lt x \lt 3m+5$，不等式组$D$的解集为$m-4 \lt x \lt \frac{5m+13}{3}$，
$\therefore C$的中点值为$\frac{m-3+3m+5}{2}=2m+1$，
$\because D$对于不等式组$C$中点包含，
$\therefore m-4 \lt 2m+1 \lt \frac{5m+13}{3}$，
解得：$-5 \lt m \lt 10$，
又$\because m \gt -4$，
$\therefore -4 \lt m \lt 10$.
$(3)$解不等式组$E$得，$2n \lt x \lt 2m$，解不等式组$F$得，$\frac{3n+m}{2}＜x＜6+n$，
$\therefore E$的中点值为$n+m$，
$\because$不等式组$F$对于不等式组$E$中点包含，
$\therefore \frac{3n+m}{2}＜n+m＜6+n$，
解得：$n \lt m \lt 6$，
$\because$所有符合要求的整数$m$之和为$14$，
$\therefore$整数$m$可取$2$，$3$、$4$，$5$，或整数$m$可取$-1$、$0$、$1$、$2$、$3$、$4$，$5$.
$\therefore 1\leqslant n \lt 2$或$-2\leqslant n \lt -1$.