$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD$∥$BC$，
$\therefore \angle AMO=\angle CNO$，$\angle MAO=\angle NCO$，
$\because O$为对角线$AC$的中点，
$\therefore OA=OC$，
在$\triangle AOM$和$\triangle CON$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMO=∠CNO}\\{∠MAO=∠NCO}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AOM$≌$\triangle CON\left(AAS\right)$，
$\therefore AM=CN$，
又$\because AM$∥$NC$
$\therefore$四边形$ANCM$为平行四边形；
$(2)$由（1）知：四边形$ANCM$为平行四边形，
$\because MN\bot AC$，
$\therefore$平行四边形$ANCM$是菱形，
$\therefore AM=AN=NC$，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，$AD=4$，$AB=2$，
$\therefore AD=BC=4$，$AB=CD=2$，
设$NC$的长度为$x$，则$AN=x$，$BN=4-x$，
$\because \angle B=90^{\circ}$，
$\therefore AB^{2}+BN^{2}=AN^{2}$，
$\therefore 2^{2}+\left(4-x\right)^{2}=x^{2}$，
解得$x=\frac{5}{2}$，
即$NC=\frac{5}{2}$，
$\therefore S_{四边形ANCM}=NC•AB=\frac{5}{2}×2=5$.

$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD$∥$BC$，
$\therefore \angle AMO=\angle CNO$，$\angle MAO=\angle NCO$，
$\because O$为对角线$AC$的中点，
$\therefore OA=OC$，
在$\triangle AOM$和$\triangle CON$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMO=∠CNO}\\{∠MAO=∠NCO}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AOM$≌$\triangle CON\left(AAS\right)$，
$\therefore AM=CN$，
又$\because AM$∥$NC$
$\therefore$四边形$ANCM$为平行四边形；
$(2)$由（1）知：四边形$ANCM$为平行四边形，
$\because MN\bot AC$，
$\therefore$平行四边形$ANCM$是菱形，
$\therefore AM=AN=NC$，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，$AD=4$，$AB=2$，
$\therefore AD=BC=4$，$AB=CD=2$，
设$NC$的长度为$x$，则$AN=x$，$BN=4-x$，
$\because \angle B=90^{\circ}$，
$\therefore AB^{2}+BN^{2}=AN^{2}$，
$\therefore 2^{2}+\left(4-x\right)^{2}=x^{2}$，
解得$x=\frac{5}{2}$，
即$NC=\frac{5}{2}$，
$\therefore S_{四边形ANCM}=NC•AB=\frac{5}{2}×2=5$.